1.1.2 四种命题与四种命题间的相互关系 同步练习2（含答案）

1.1.2
四种命题与四种命题间的相互关系
同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.
“若a A，则b∈B”的否命题是(　　)
A.若a A，则b B　　　　
B.若a∈A，则b B
C.若b∈B，则a A
D.若b B，则a A
【解析】选B.命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，“∈”与“ ”互为否定形式.
2.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是(　　)
A.邻补角不互补
B.互补的两个角是邻补角
C.不是邻补角的两个角不互补
D.不互补的两个角不是邻补角
【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题，因此把所给命题的条件与结论都否定，即为所求.
【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.
【变式训练】“△ABC中，若∠C=90°，则∠B，∠A全是锐角”的否命题为
(　　)
A.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一个钝角
D.以上均不对
【解析】选B.否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定，故选B.
【误区警示】解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”，而非“全不是”.
3.下列命题中为真命题的是(　　)
A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B.命题“x>1，则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
【解析】选A.对于A:逆命题为若x>|y|，则x>y，真命题.
对于B:否命题为若x≤1，则x2≤1，显然此命题为假，比如x=-2命题不成立.
对于C:否命题为“若x≠1，则x2+x-2≠0”，此命题是假命题，如x=-2命题不成立.
对于D:逆否命题为:若x≤1，则x2≤0，显然此命题是假命题，故选A.
4.关于命题“若|a|≠|b|，则a≠b”的叙述正确的是(　　)
A.命题的逆命题为真命题
B.命题的否命题为真命题
C.命题的逆否命题为真命题
D.以上都正确
【解析】选C.命题“若|a|≠|b|，则a≠b”的逆命题为“若a≠b，则|a|≠|b|”，是假命题.
命题“若|a|≠|b|，则a≠b”的否命题为“若|a|=|b|，则a=b”，是假命题.
命题“若|a|≠|b|，则a≠b”的逆否命题为“若a=b，则|a|=|b|”，是真命题.
5.命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题是(　　)
A.若x=y=0，则x2+y2≠0
B.若x，y都不为0，则x2+y2≠0
C.若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0
D.若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2=0
【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x，y中至少有一个不为0”，故原命题的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，故选C
【误区警示】解答本题易出现选B的错误，导致出现这类错误的原因是对“x，y全为0”的否定搞不清楚所致.事实上，x，y全为0的否定为x，y中至少有一个不为0.
6.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是(　　)
A.若α≠，则tanα≠1
B.若α=，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠
D.若tanα≠1，则α=
【解题指南】由逆否命题的概念知，否定原命题的条件，“α≠”作结论；否定原命题的结论，“tanα≠1”作条件.
【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”，故选C.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.原命题:“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是　　　　　　　.
【解析】逆命题:若ac2>bc2，则a>b，真命题.
否命题:若a≤b，则ac2≤bc2，真命题.
逆否命题:若ac2≤bc2，则a≤b，假命题.
答案:2
8.请写出命题“若a+b=2，则a2+b2≥2”的否命题:　　　　　　　　.
【解析】根据否命题的形式，原命题的否命题为“若a+b≠2，则a2+b2<2”.
答案:若a+b≠2，则a2+b2<2
9.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是　　　命题(填真、假).
【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”，是真命题.
答案:真
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.设命题p:若m<0，则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.
(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)
【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根，则m<0.
p的否命题:若m≥0，则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.
p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根，则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题.
11.判断下列命题的真假:
(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题.
(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题.
【解析】(1)逆命题:若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真.逆否命题:若x B，则x A∪B.逆否命题为假.如2 {1，5}=B，A={2，3}，但2∈A∪B.
(2)逆命题:若自然数能被2整除，则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2，4，14，22等都不能被6整除.
能力提升
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知直线l1:x+ay+1=0，直线l2:ax+y+2=0，则命题“若a=1或a=-1，则直线l1与l2平行”的否命题为(　　)
A.若a≠1且a≠-1，则直线l1与l2不平行
B.若a≠1或a≠-1，则直线l1与l2不平行
C.若a=1或a=-1，则直线l1与l2不平行
D.若a≠1或a≠-1，则直线l1与l2平行
【解析】选A.命题“若A，则B”的否命题为“若A，则B”，显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.
【举一反三】若本题中条件不变，则原命题的逆命题是　　　　　　.
【解析】将原命题中，条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线l1与l2平行，则a=1或a=-1”.
答案:若直线l1与l2平行，则a=1或a=-1
2.下列四个命题:
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤-3，则x2-x-6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是(　　)
A.0　　　　
B.1　　　　
C.2　　　　
D.3
【解析】选B.①否命题:若x+y≠0，则x，y不互为相反数，真命题.②逆否命题:若a2≤b2，则a≤b，假命题.③否命题:若x>-3，则x2-x-6≤0，假命题.④逆命题:相等的两个角是同位角，假命题.
3.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)
A.3　　　　
B.2　　　　
C.1　　　　
D.0
【解析】选C.逆命题与否命题错误，逆否命题正确，故选C.
4.命题“若-1A.若x≥1或x≤-1，则x2≥1
B.若x2<1，则-1C.若x2>1，则x>1或x<-1
D.若x2≥1，则x≥1或x≤-1
【解析】选D.若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若q，则p”，故此命题的逆否命题是“若x2≥1，则x≥1或x≤-1”.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.下列四个命题中:
①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；
②“若k>0，则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题；
④
“若ab≠0，则a≠0”的否命题.
其中真命题的序号是　　　　　.
【解析】①逆命题为“若一个三角形的三内角均为60°，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；②Δ=4+4k，当k>0时，Δ>0，所以原命题为真命题，其逆否命题是真命题；③不全等的两个三角形面积也有可能相等，所以③是假命题；④否命题为“若ab=0，则a=0”，是假命题.
综上可知，真命题是①②.
答案:①②
【变式训练】有下列四个命题，其中真命题是　__________.
①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤0，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；④“若A∪B=B，则A B”的逆否命题.
【解析】①逆命题是:“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题；②逆命题是:“若两三角形的周长相等，则它们相似”，是假命题，所以原命题的否命题也是假命题；③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0，所以③是真命题，其逆否命题也是真命题；④若A∪B=B，则A B，所以原命题是假命题，其逆否命题也是假命题，所以④是假命题.综上可知①③为真命题.
答案:①③
6.给出下列三个命题:
①若x2-3x+2=0，则x=1或x=2；
②若-2≤x<3，则(x+2)(x-3)≤0；
③若x，y∈N+，x+y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，其中逆命题为真命题是　　　　.
【解析】①③逆命题为真，②逆命题为假.
答案:①③
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.写出命题:若x+y=5，则x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假.
【解析】逆命题:若x=3且y=2，则x+y=5，是真命题.
否命题:若x+y≠5，则x≠3或y≠2，是真命题.
逆否命题:若x≠3或y≠2，则x+y≠5，是假命题.
【变式训练】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
(1)实数的平方是非负数.
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.
(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.
【解析】(1)逆命题:若一个数的平方是非负数，则这个数是实数，真命题.
否命题:若一个数不是实数，则它的平方不是非负数，真命题.
逆否命题:若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数，真命题.
(2)逆命题:若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高，真命题.
否命题:若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等，真命题.
逆否命题:若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高，假命题.
(3)逆命题:若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.
否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.
逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.
8.在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？
【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列的性质判断何时为真命题，何时为假命题.
【解析】(1)逆命题:在公比为q的等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.
(2)由{an}为等比数列，所以an≠0，q≠0.
由am，am+2，am+1成等差数列，得2am+2=am+am+1，
所以2am·q2=am+am·q，所以2q2-q-1=0.
解得q=-或q=1.
当q=1时，an=a1(n=1，2，…)，
所以Sm+2=(m+2)a1，Sm=ma1，Sm+1=(m+1)a1，
因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，
即2Sm+2≠Sm+Sm+1，
所以Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列.
即q=1时，原命题的逆命题为假命题.
当q=-时，2Sm+2=2·，
Sm+1=，Sm=，
所以2Sm+2=Sm+1+Sm，
所以Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.
即q=-时，原命题的逆命题为真命题.