1.1.2 四种命题与四种命题间的相互关系 同步练习3（含答案）

1.1.2
四种命题与四种命题间的相互关系
同步练习
一、选择题
1.有下列四个命题:
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为(　　).
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
答案:C
解析:②“三角形不全等，则面积不相等”，为假命题；④“三个内角相等的三角形为不等边三角形”，为假命题.而①③为真命题，故选C.
2.逆否命题为“菱形的对角线互相垂直”的原命题是(　　).
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.不是菱形的四边形的对角线不互相垂直
C.对角线不互相垂直的四边形不是菱形
D.菱形的对角线不互相垂直
答案:C
解析:先将已知命题化为“若p，则q”的形式:若一个四边形为菱形，则对角线互相垂直，所以原命题为:若一个四边形的对角线不互相垂直，则它不是菱形.
3.下列说法中:
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真.
其中正确的是(　　).
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
答案:B
解析:互为逆否命题的两个命题同真假.
4.已知命题p:无穷数列{an}的前n项和为Sn，若{an}是等差数列，则点(n，Sn)在一条抛物线上；命题q:若实数m>1，则关于x的不等式mx2+(2m-2)x-1>0的解集为(-∞，+∞).
对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r，下列判断正确的是(　　).
A.s是假命题，r是真命题
B.s是真命题，r是假命题
C.s是假命题，r是假命题
D.s是真命题，r是真命题
答案:C
解析:对于命题p，当{an}为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s也是假命题；
由于使mx2+(2m-2)x-1>0的解集为(-∞，+∞)的m不存在，故命题q的逆命题r是假命题.
5.已知下列四个命题:
①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；
②“正方形是菱形”的否命题；
③“若m>2，则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.
其中真命题的个数为(　　).
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:对于①，原命题是假命题，其逆否命题也是假命题；
对于②，其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形，是假命题；
对于③，不等式x2-2x+m>0的解集为R，需满足Δ=4-4m<0，解得m>1.而m>2>1，故只有③正确.故选B.
二、非选择题
6.命题“若一个数是无理数，则它的平方是无理数”的逆命题是　　　　　　　.
答案:若一个数的平方是无理数，则这个数是无理数
7.有下列四个命题:
①“如果xy=1，则lg
x+lg
y=0”；
②“如果sinα+cosα=，则α是第一象限角”的否命题；
③“如果b≤0，则方程x2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题；
④“如果A∪B=B，则A B”的逆命题.
其中是真命题的有　　　　　.
答案:③④
解析:命题①显然错误，例如:当x=-1，y=-1时，lg
x+lg
y无意义.对于②，其否命题为“如果sinα+cosα≠，则α不是第一象限角”，当α=60°时，sinα+cosα=，故知其否命题为假命题.对于③，当b≤0时，Δ=4b2-4b≥0恒成立，故方程x2-2bx+b=0有实数根.由原命题与其逆否命题真假性相同，知命题③是真命题.对于④，逆命题为“若A B，则A∪B=B”，显然为真命题.
8.已知命题“若m-1答案:1≤m≤2
解析:由已知得，若1∴1≤m≤2.
10.写出命题“|x-2|+(y-1)2=0，则x=2且y=1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.
解:逆命题:若x=2且y=1，则|x-2|+(y-1)2=0.真命题；
否命题:若|x-2|+(y-1)2≠0，则x≠2或y≠1.真命题；
逆否命题:若x≠2或y≠1，则|x-2|+(y-1)2≠0.真命题.
11.已知函数f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，a，b∈R.证明:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0.
解：证法一:(逆否证法)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，a，b∈R，若a+b<0，则f(a)+f(b)若a+b<0，则a<-b，b<-a，
又∵f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)+f(b)即逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题.
证法二:(反证法)假设a+b<0，则a<-b，b<-a，
又∵f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)+f(b)这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾.
因此假设不成立，故a+b≥0.
∴若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0.
12.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.
解:方法一:逆否命题是“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集”.
判断如下，
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上，又方程x2+(2a+1)x+a2+2=0的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7，
因为a<1，所以4a-7<0，
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.
因此关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集，故逆否命题为真.
方法二:先判断原命题的真假.
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，
所以方程x2+(2a+1)x+a2+2=0的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0，
即4a-7≥0，解得a≥7/4.
因为a≥7/4，所以a≥1.
故原命题为真.
又因为原命题与其逆否命题有相同的真假性，所以逆否命题为真.