1.1.3 四种命题间的相互关系 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.1.3 四种命题间的相互关系 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 124.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-14 18:03:42 | ||
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文档简介
1.1.3
四种命题间的相互关系
同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的等价命题是( )
A.如果xB.如果x≥2ab，那么x≥a2+b2
C.如果x<2ab，那么xD.如果x≥a2+b2，那么x<2ab
【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题，故选C.
2.若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )
A.互逆命题
B.互否命题
C.互逆否命题
D.不确定
【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定，且q与r的条件与结论互换，所以p与r的条件与结论是相互否定的，故p与r是互否命题.
【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】选A.因为p与q是互逆否命题，q与r是互否命题，
所以p与r是互逆命题.
3.在命题“若函数f(x)是偶函数，则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题，否命题，逆否命题中结论成立的是( )
A.都真
B.都假
C.否命题假，逆命题真
D.逆否命题假
【解析】选A.因为f(x)是偶函数，与f(x)的图象关于y轴对称是等价的，故四种命题均为真命题.
4.关于命题:“设a，b为实数，若ab=0，则a，b至少有一个为0.”有下列说法:
①原命题为真命题；②逆命题为真命题；③否命题为“设a，b为实数，若ab≠0，则a，b不都为0”；④逆否命题为“设a，b为实数，若a，b都不为0，则ab≠0”.
其中，说法不正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①原命题为真命题；②逆命题为“设a，b为实数，若a，b至少有一个为0，则ab=0”，真命题；③否命题为“设a，b为实数，若ab≠0，则a，b都不为0”，故③不正确；④正确.
5.关于原命题“在△ABC中，若cosA=2sinBsinC，则△ABC是钝角三角形”的叙述:
①原命题是假命题；②逆命题为假命题；③否命题是假命题；④逆否命题为真命题.
其中，正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换，建立三角形内角的关系判断原命题的真假，逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.
【解析】选C.在△ABC中，若cosA=2sinBsinC，
则-cos(B+C)=2sinBsinC，得
cosBcosC+sinBsinC=0，
得cos(B-C)=0，故B-C=90°或B-C=-90°，
即B=C+90°或C=B+90°，故△ABC是钝角三角形，原命题与逆否命题为真命题.
逆命题和否命题互为逆否命题，是假命题，
如在钝角△ABC中，A=15°，B=15°，C=150°，
cosA=cos15°=，
sinB=sin15°=，sinC=sin150°=，
2sinBsinC=≠cosA.
6.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是
( )
A.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3
【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题，即为原命题的逆命题，故选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.下列命题中是真命题的是 _______.
①命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
②命题
“若m≤1，则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题；
③命题“若A∩B=B，则A B”的逆否命题.
【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等，是真命题.
命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根，则m>1，是真命题.
命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.
故真命题为①②.
答案:①②
8.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是 _________.
【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.
我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题不是真命题.
②中的逆命题是:若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点.
由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点，
所以②的逆命题为真命题.
答案:②
【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是 .
【解析】命题②为假命题，因此它的逆否命题为假命题.
答案:②
9.命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1+μe2=0，则λ=μ=0”的等价命题为 ，是 命题(填真、假).
【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题，只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.
【解析】命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1+μe2=0，则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1+μe2≠0”，是真命题.
答案:已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1+μe2≠0 真
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.m>时，mx2-x+1=0无实根.
【解析】将原命题改写成“若p，则q”的形式为“若m>，则mx2-x+1=0无实根”.
逆命题:“若mx2-x+1=0无实根，则m>”，是真命题；
否命题:“若m≤，则mx2-x+1=0有实根”，是真命题；
逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根，则m≤”，是真命题.
四种命题间的相互关系
同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的等价命题是( )
A.如果x
C.如果x<2ab，那么x
【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题，故选C.
2.若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )
A.互逆命题
B.互否命题
C.互逆否命题
D.不确定
【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定，且q与r的条件与结论互换，所以p与r的条件与结论是相互否定的，故p与r是互否命题.
【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】选A.因为p与q是互逆否命题，q与r是互否命题，
所以p与r是互逆命题.
3.在命题“若函数f(x)是偶函数，则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题，否命题，逆否命题中结论成立的是( )
A.都真
B.都假
C.否命题假，逆命题真
D.逆否命题假
【解析】选A.因为f(x)是偶函数，与f(x)的图象关于y轴对称是等价的，故四种命题均为真命题.
4.关于命题:“设a，b为实数，若ab=0，则a，b至少有一个为0.”有下列说法:
①原命题为真命题；②逆命题为真命题；③否命题为“设a，b为实数，若ab≠0，则a，b不都为0”；④逆否命题为“设a，b为实数，若a，b都不为0，则ab≠0”.
其中，说法不正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①原命题为真命题；②逆命题为“设a，b为实数，若a，b至少有一个为0，则ab=0”，真命题；③否命题为“设a，b为实数，若ab≠0，则a，b都不为0”，故③不正确；④正确.
5.关于原命题“在△ABC中，若cosA=2sinBsinC，则△ABC是钝角三角形”的叙述:
①原命题是假命题；②逆命题为假命题；③否命题是假命题；④逆否命题为真命题.
其中，正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换，建立三角形内角的关系判断原命题的真假，逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.
【解析】选C.在△ABC中，若cosA=2sinBsinC，
则-cos(B+C)=2sinBsinC，得
cosBcosC+sinBsinC=0，
得cos(B-C)=0，故B-C=90°或B-C=-90°，
即B=C+90°或C=B+90°，故△ABC是钝角三角形，原命题与逆否命题为真命题.
逆命题和否命题互为逆否命题，是假命题，
如在钝角△ABC中，A=15°，B=15°，C=150°，
cosA=cos15°=，
sinB=sin15°=，sinC=sin150°=，
2sinBsinC=≠cosA.
6.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是
( )
A.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3
【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题，即为原命题的逆命题，故选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.下列命题中是真命题的是 _______.
①命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
②命题
“若m≤1，则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题；
③命题“若A∩B=B，则A B”的逆否命题.
【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等，是真命题.
命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根，则m>1，是真命题.
命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.
故真命题为①②.
答案:①②
8.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是 _________.
【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.
我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题不是真命题.
②中的逆命题是:若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点.
由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点，
所以②的逆命题为真命题.
答案:②
【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是 .
【解析】命题②为假命题，因此它的逆否命题为假命题.
答案:②
9.命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1+μe2=0，则λ=μ=0”的等价命题为 ，是 命题(填真、假).
【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题，只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.
【解析】命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1+μe2=0，则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1+μe2≠0”，是真命题.
答案:已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1+μe2≠0 真
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.m>时，mx2-x+1=0无实根.
【解析】将原命题改写成“若p，则q”的形式为“若m>，则mx2-x+1=0无实根”.
逆命题:“若mx2-x+1=0无实根，则m>”，是真命题；
否命题:“若m≤，则mx2-x+1=0有实根”，是真命题；
逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根，则m≤”，是真命题.