1.2.2 充要条件 同步练习1（含答案）

1.2.2
充要条件
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1，0，1；不一定得到x＝1.
答案：A
2．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵当α＝＋2kπ(k∈Z)时，cos2α＝cos＝，
∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的充分条件．
而当α＝－时，cos2α＝，但－≠＋2kπ(k∈Z)，∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”不是“cos2α＝”的必要条件．
答案：A
3．下列p是q的充要条件的是(　　)
A．p：a>b，q：ac>bc
B．p：x＝1，q：x2－x＝0
C．p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数
D．p：x>0，y>0，q：xy>0
解析：选项A中c可为0，不充要；
选项B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，也不充要；
选项D中，xy>0解得x>0，y>0或x<0，y<0，也不充要，只有C正确．
答案：C
4．设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有(　　)
①A∪B＝A　② UA∩B＝
③ UA UB
④A∪ UB＝U，
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：由韦恩图可知，①②③④都是充要条件．
图1
答案：D
5．关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根同号的充要条件是(　　)
A．k<－1或k≥
B．－2C．－2≤k<－1或D．－2≤k≤1
答案：C
6．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．m＝1是函数y＝xm2
－4m＋5为二次函数的________条件．
解析：m＝1时，函数y＝x2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝3也能保证函数为二次函数．
答案：充分不必要
8．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件．
解析：a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行．反之，若ax＋2y＝0与x＋y＝1平行，得a＝2，故“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件．
答案：充要
9．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”成立的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)
解析：a＝1且b＝2 a＋b＝3，所以a＋b≠3 a≠1或b≠2，而a＋b＝3
a＝1且b＝2，所以a≠1或b≠2a＋b≠3.
答案：必要不充分
三、解答题(共40分)
10．(10分)若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？
解：命题的充分必要性具有传递性M N P Q，但Q /
P，N P，且N
M，故M是Q的充分不必要条件．
11．(15分)设函数f(x)＝x|x－a|＋b.求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.
证明：充分性：若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以f(x)＝x|x|.因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)对一切x∈R恒成立，所以f(x)是奇函数．
必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b.令x＝0，得b＝－b，所以b＝0；令x＝a，得a|2a|＝0，所以a＝0，即a2＋b2＝0.