1.4.1和1.4.2 全称量词与存在量词 同步练习1（含答案）

1.4.1和1.4.2
全称量词与存在量词
同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是(　　)
A.存在a0，b0∈R，使+2a0b0=(a0+b0)2
B.存在a0<0，b0>0，使+2a0b0=(a0+b0)2
C.存在a0>0，b0>0，有+2a0b0=(a0+b0)2
D.对所有a，b∈R，有a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.根据全称命题的一般形式为“所有x，有p(x)”.故全称命题是对所有a，b∈R，有a2+b2+2ab=(a+b)2.
2.下列语句是特称命题的是(　　)
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n0，使n0能被11整除
C.x>7
D. x∈M，p(x)成立
【解析】选B.B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C对应的语句不能判断真假，不是命题，D是全称命题.
3.下列命题中，真命题是(　　)
A. x0∈R，≤0
B. x∈R，2x>x2
C.a+b=0的充要条件是=-1
D.a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解题指南】要判断全称命题正确，要进行严谨的证明；而要判断其错误，只要举一反例即可；相应地，要证明特称命题正确，只要举一正例即可；而判断其错误，要证明所有对象都在所给属性的对立面；同时要注意充分条件和必要条件的意义与判断方法.
【解析】选D.由于 x∈R，ex>0恒成立，
所以 x0∈R，≤0不正确；
当x=2时，2x=x2，所以 x∈R，2x>x2不正确；
a+b=0中b可取0，而=-1中b不能取0，因此，两者不等价；a>1，b>1 ab>1，反之不能成立，所以a>1，b>1是ab>1的充分条件.
4.下列特称命题是假命题的是(　　)
A.存在x0∈Q，使2x0-=0
B.存在x0∈R，使+x0+1=0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
【解析】选B.对于任意的x∈R，x2+x+1=>0恒成立.
5.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)
A.每一个二次函数的图象都是开口向上
B.存在一条直线与两个相交平面都垂直
C.存在一个实数x0，使-3x0+6<0
D.对任意c≤0，若a≤b+c，则a≤b
【解析】选D.每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题；存在一条直线与两个相交平面都垂直，是特称命题，且是假命题；存在一个实数x0，使-3x0+6<0是特称命题，且是假命题；对任意c≤0，若a≤b+c，则a-b≤c≤0，则a≤b，是全称命题，且是真命题.
6.若存在x0∈R，使a+2x0+a<0，则实数a的取值范围是
(　　)
A.a<1　　　　　　　　　
B.a<-1
C.-1D.-1【解析】选A.当a≤0时，显然存在x0∈R，
使a+2x0+a<0.
当a>0时，需满足Δ=4-4a2>0，
得-1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.命题“对任意一个实数x，x2+2x+1都不小于零”用“ ”或“ ”符号表示为　___________.
【解析】将文字语言用符号语言可表示为 x∈R，x2+2x+1≥0.
答案: x∈R，x2+2x+1≥0
8.下列命题，是全称命题的是　　　　；是特称命题的是　　　　.
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】命题①②③中省略了全称量词“所有的”，故①②③是全称命题，命题④中含有存在量词“至少有一个”，故④是特称命题.
答案:①②③　④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用量词符号“ ”“ ”表示.
(1)两个有理数之间，都有一个无理数.
(2)有一个凸n边形，外角和等于180°.
(3)存在一个三棱锥，使得它的每个侧面都是直角三角形.
【解析】(1)全称命题: 两个有理数之间，都有一个无理数.
(2)特称命题: 一个凸n边形，它的外角和等于180°.
(3)特称命题: 一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形.