2.2.1 椭圆及其标准方程 同步练习1（含答案）

2.2.1
椭圆及其标准方程
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±，0)　B．(0，±)
C．(±，0)
D．(±，0)
解析：椭圆4x2＋9y2＝1的标准形式为＋＝1，
∴a2＝，b2＝.故c2＝－＝.
答案：C
2．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
解析：由题知a2－2＝4，∴a2＝6.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：D
3．在椭圆＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为(　　)
A．4
B．4
C．3
D．5.5
解析：把粒子运动轨迹表示出来，可知整个距离为4a，即
4.
答案：B
4．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：由题意知，焦距为4，则有m－2－(10－m)＝()2.解得：m＝8.
答案：D
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±)
B．(±，0)
C．(0，±)
D．(±，0)
解析：化为标准方程是＋＝1，21世纪教育网
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝.
答案：C
6．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.21世纪教育网
又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．
解析：将原方程整理，得＋＝1解得0答案：08．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12，
∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
答案：8
9．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.设P(1，)，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题(共40分)
图1
10．(15分)如图1，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，求圆心P的轨迹方程．
解：由题可知|PB|＝r，
∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
∴2a＝10，2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，
即点P的轨迹方程为＋＝1.
11．(15分)设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5，0)、B(5，0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：∵点P在椭圆＋＝1上，
∴y2＝16×(1－)＝16×.①
∵点P的纵坐标y≠0，
∴x≠±5.
∴kPA＝，kPB＝.
∴kPA·kPB＝·＝.②
把①代入②，得kPA·kPB＝＝－.
∴kPA·kPB为定值，这个定值是－.