2.2.2 椭圆的简单几何性质 同步练习（含答案）

2.2.2
椭圆的简单几何性质
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)
A.　
B.
C.
D.
解析：∵a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，∴m＝.
答案：B
2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率e是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由椭圆定义知|OF1|＋|OF2|＝2a，∴2a＝4，∴a＝2，又∵c＝1，∴e＝＝.
答案：C
3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A.
B.
C.
D．－
解析：椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长2a＝.
答案：C
4．椭圆＋＝1(a>b>0)和＋＝k(k>0)具有(　　)
A．相同的长轴长
B．相同的焦点
C．相同的离心率
D．相同的顶点
解析：椭圆＋＝1的离心率e1＝；＋＝k可化为＋＝1(k>0)，其离心率e2＝＝.∴e1＝e2.
答案：C
5．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知b＝c，a＝c，∴e＝＝.
答案：B
6．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
图1
答案：B
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________．
解析：由题意知＝，即＝，∴e＝.
答案：
8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.又e＝＝，故c＝3，b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于________．
解析：当焦点在x轴上时，a＝，b＝2，c＝，e＝＝＝，解得k＝；当焦点在y轴上时，a＝2，b＝，c＝，e＝＝＝，解得k＝.所以k＝或k＝.
答案：或
三、解答题(共40分)
图2
10．(15分)如图2，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解：法1：设焦点坐标为F1(－c，0)、F2(c，0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b)．
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2，
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理，得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝，
所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.
法2：设M(c，b)，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.
11．(15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上存在一点M(x0，y0)，使得∠F1MF2＝，求离心率e的取值范围．
解：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，|F1F2|＝2c，由余弦定理，有(2c)2＝r＋r－2r1r2cos＝(r1＋r2)2－3r1r2，又r1＋r2＝2a，∴4a2－4c2＝3r1r2≤3()2＝3a2，
即a2≤4c2，∴e2＝()2≥.
又0