2.2.3 椭圆方程及性质的应用 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.3 椭圆方程及性质的应用 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 139.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-14 19:26:34 | ||
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文档简介
2.2.3
椭圆方程及性质的应用
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．线段|AB|＝4，N为AB的中点，动点P满足条件|PA|＋|PB|＝6，当P点在同一平面内运动时，|PN|的最大值M，最小值m分别是( )
A．M＝4，m＝ B．M＝3，m＝
C．M＝5，m＝
D．M＝3，m＝
解析：由|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，∴P的轨迹是以A、B为焦点，N为中心的椭圆．则M＝|PN|max＝a＝3，
m＝|PN|min＝b＝＝＝.
答案：B
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2]
B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2]
D．[4－，4＋]
解析：由8x2＋3y2＝24，得＋＝1.∴－≤m≤.∴4－2≤2m＋4≤4＋2.
答案：A
3．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知，F1(－，0)，F2(，0)．设M(x0，y0)，由·＝0，可得x0＝±.故选B.
答案：B
4．若AB为过椭圆＋＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为( )
A．6
B．12
C．24
D．48
图1
解析：如图1，S△ABF1＝S△AOF1＋S△BOF1
＝2S△AOF1.
又∵OF1＝c＝3为定值，
∴点A与(0，4)重合时，OF1边上的高最大，
此时S△AOF1的面积最大为×4×3＝6.
∴S△ABF1的最大值为12.
答案：B
5．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )
A．3
B.
C．2
D.
图2
解析：设与直线x＋2y－＝0平行的直线为x＋2y＋m＝0与椭圆联立得，
(－2y－m)2＋4y2－16＝0，
即4y2＋4my＋4y2－16＋m2＝0得
2y2＋my－4＋＝0.
Δ＝m2－8(－4)＝0，
即－m2＋32＝0，
∴m＝±4.
∴两直线间距离最大是当m＝4时，
dmax＝＝.
答案：D
6．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A．2
B．－2
C.
D．－
图3
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)
则＋y＝1 ①
＋y＝1 ②
①－②得＝－(y1＋y2)(y1－y2)
∴＝－＝－.
∵k1＝，k2＝，
∴k1＝－.∴k1·k2＝－.
答案：D
二、填空题
(每小题8分，共24分)
7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得方程组解得A(0，－2)，B(，)．
∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝.
答案：
8．若F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．
解析：∵椭圆C：＋＝1，∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，其短轴的端点为
B(0，2)，A(0，－2)，
∴∠F1BF2＝∠F1AF2＝90°.又短轴端点与F1，F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1，F2连线所成角中的最大角，
∴在C上满足PF1⊥PF2的点有2个．
答案：2
9．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
解析：∵直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点
∴>2
∴m2＋n2<4
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故直线mx＋ny＝4与椭圆＋＝1也有两个交点．
答案：2
三、解答题(共40分)
10．(15分)已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2＋9y2＝36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C经过点A(2，－3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若PQ是椭圆C的所截线段，O是坐标原点，OP⊥OQ且P点的坐标为(，2)，求点Q的坐标．
解：(1)由已知C1：＋＝1得焦点F1′(－，0)，F2′(，0)．
又椭圆C与C1的焦点F1，F2，F1′，F2′是一个正方形的四个顶点，椭圆的中心在原点，
∴F1，F2关于原点对称．
∴F1(0，－)，F2(0，)．
故设C：＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆C过点A(2，－3)，
∴＋＝1且a2－b2＝5.
解出a2＝15，b2＝10.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设Q(x0，y0)，
则由OP⊥OQ得kOP·kOQ＝·＝－1，
即y0＝－x0.又∵＋＝1，
3x＋2(－x0)2＝30，
∴x0＝±3，点Q的坐标为(3，－)或(－3，)．
11．(15分)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m，0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)．
此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，
且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.
椭圆方程及性质的应用
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．线段|AB|＝4，N为AB的中点，动点P满足条件|PA|＋|PB|＝6，当P点在同一平面内运动时，|PN|的最大值M，最小值m分别是( )
A．M＝4，m＝ B．M＝3，m＝
C．M＝5，m＝
D．M＝3，m＝
解析：由|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，∴P的轨迹是以A、B为焦点，N为中心的椭圆．则M＝|PN|max＝a＝3，
m＝|PN|min＝b＝＝＝.
答案：B
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2]
B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2]
D．[4－，4＋]
解析：由8x2＋3y2＝24，得＋＝1.∴－≤m≤.∴4－2≤2m＋4≤4＋2.
答案：A
3．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知，F1(－，0)，F2(，0)．设M(x0，y0)，由·＝0，可得x0＝±.故选B.
答案：B
4．若AB为过椭圆＋＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为( )
A．6
B．12
C．24
D．48
图1
解析：如图1，S△ABF1＝S△AOF1＋S△BOF1
＝2S△AOF1.
又∵OF1＝c＝3为定值，
∴点A与(0，4)重合时，OF1边上的高最大，
此时S△AOF1的面积最大为×4×3＝6.
∴S△ABF1的最大值为12.
答案：B
5．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )
A．3
B.
C．2
D.
图2
解析：设与直线x＋2y－＝0平行的直线为x＋2y＋m＝0与椭圆联立得，
(－2y－m)2＋4y2－16＝0，
即4y2＋4my＋4y2－16＋m2＝0得
2y2＋my－4＋＝0.
Δ＝m2－8(－4)＝0，
即－m2＋32＝0，
∴m＝±4.
∴两直线间距离最大是当m＝4时，
dmax＝＝.
答案：D
6．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A．2
B．－2
C.
D．－
图3
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)
则＋y＝1 ①
＋y＝1 ②
①－②得＝－(y1＋y2)(y1－y2)
∴＝－＝－.
∵k1＝，k2＝，
∴k1＝－.∴k1·k2＝－.
答案：D
二、填空题
(每小题8分，共24分)
7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得方程组解得A(0，－2)，B(，)．
∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝.
答案：
8．若F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．
解析：∵椭圆C：＋＝1，∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，其短轴的端点为
B(0，2)，A(0，－2)，
∴∠F1BF2＝∠F1AF2＝90°.又短轴端点与F1，F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1，F2连线所成角中的最大角，
∴在C上满足PF1⊥PF2的点有2个．
答案：2
9．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
解析：∵直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点
∴>2
∴m2＋n2<4
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故直线mx＋ny＝4与椭圆＋＝1也有两个交点．
答案：2
三、解答题(共40分)
10．(15分)已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2＋9y2＝36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C经过点A(2，－3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若PQ是椭圆C的所截线段，O是坐标原点，OP⊥OQ且P点的坐标为(，2)，求点Q的坐标．
解：(1)由已知C1：＋＝1得焦点F1′(－，0)，F2′(，0)．
又椭圆C与C1的焦点F1，F2，F1′，F2′是一个正方形的四个顶点，椭圆的中心在原点，
∴F1，F2关于原点对称．
∴F1(0，－)，F2(0，)．
故设C：＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆C过点A(2，－3)，
∴＋＝1且a2－b2＝5.
解出a2＝15，b2＝10.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设Q(x0，y0)，
则由OP⊥OQ得kOP·kOQ＝·＝－1，
即y0＝－x0.又∵＋＝1，
3x＋2(－x0)2＝30，
∴x0＝±3，点Q的坐标为(3，－)或(－3，)．
11．(15分)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m，0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)．
此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，
且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.