1.4
全称量词与存在量词
同步练习
一、选择题
1.下列命题中是假命题的是( ).
A. x∈R，2x-1>0
B. x∈N
，(x-1)2>0
C. x∈R，lg
x<1
D. x∈R，tan
x=2
答案:B
解析:对于A，正确；对于B，当x=1时，(x-1)2=0，错误；对于C，当x∈(0，1)时，lg
x<0<1，正确；对于D， x∈R，tan
x=2，正确.
2.命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是( ).
A.不存在x∈R，x3-x2+1≤0
B.存在x∈R，x3-x2+1≤0
C.存在x∈R，x3-x2+1>0
D.对任意的x∈R，x3-x2+1>0
答案:C
解析:全称命题的否定是特称命题，方法是“改变条件，否定结论”.因此C是正确答案.
3.有下列四个命题:① x∈R，2x2-3x+4>0；② x∈{1，-1，0}，2x+1>0；③ x0∈N，使≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数.其中真命题的个数为( ).
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C
解析:对于①，这是全称命题，由于Δ=(-3)2-4×2×4<0，所以2x2-3x+4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x=-1时，2x+1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0=0时，有≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0=1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题.
故选C.
4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ).
A.存在一个α，使tan(90°-α)=tanα
B.存在实数x0，使sin
x0=
C.对一切α，sin(180°-α)=sinα
D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
答案:A
解析:只有A，B两个选项中的命题是特称命题，而由于|sin
x|≤1，所以sin
x0=不成立，故B中命题为假命题.
又因为当α=45°时，tan(90°-α)=tanα，故A中命题为真命题.
5.下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( ).
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2>0
C.任意无理数的平方必是无理数
D.存在一个负数x，使x>2
答案:A
解析:只有A，C两个选项中的命题是全称命题，且A显然为真命题.因为是无理数，而(x)2=2不是无理数，所以C为假命题.
二、非选择题
6.已知命题p: x∈R，x2+2x-a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是 .
答案:(-∞，-1)
解析:依题意不等式x2+2x-a>0对 x∈R恒成立，所以必有Δ=4+4a<0，解得a<-1.
7.命题:“ x0∈R，使+2x0+a≥0”的否定为 .
答案: x∈R，使x2+2x+a<0
8.给出下列命题:① x∈R，x2≥x；② x∈R，x2≥x；③4≥3；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中真命题的序号是 .
答案:②③
解析:①中，当x∈(0，1)时，x2≥x不成立，所以是假命题；④中，“x2≠1”的充要条件是“x≠1且x≠-1”.
9.若命题
“对任意实数x，2x>m(x2+1)”是真命题，求实数m的取值范围.
解:由题意知，不等式2x>m(x2+1)恒成立，
即不等式mx2-2x+m<0恒成立.
(1)当m=0时，不等式可化为-2x<0，x>0，不合题意.
(2)当m≠0时，要使不等式mx2-2x+m<0恒成立，则解得m<-1.
综上可知，所求实数m的取值范围是(-∞，-1).
10.写出下列命题的否定，并判断其真假:
(1)p:存在x∈R，sin2+cos2；
(2)p:任意x∈(0，+∞)，ex>1+x；
(3)p:与同一平面所成的角相等的两条直线平行.
解:(1) p:对任意x∈R，sin2+cos2，假命题；
(2) p:存在x∈(0，+∞)，ex>1+x，假命题.
(3)命题中省略了全称量词“任意”，原命题可表示为“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”， p:存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，真命题.
11.指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假.
(1)对任意实数x1，x2，若x1
x1x2；
(2) T0∈R，使|sin(x+T0)|=|sin
x|；
(3) x0∈R，使+1<0；
(4)对某些实数x，有2x+1>0；
(5) x∈{3，5，7}，3x+1是偶数.
解:(1)是全称命题，∵存在x1=0，x2=π，x1∴命题(1)是假命题.
(2)是特称命题，∵y=|sin
x|是周期函数，π是它的一个周期，
∴命题(2)是真命题.
(3)是特称命题，∵对任意x∈R，x2+1>0.
∴命题(3)是假命题.
(4)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题.
(5)命题中含有全称量词的符号“ ”，因此是全称命题.
把3，5，7分别代入3x+1，得10，16，22都是偶数，因此，该命题是真命题.1.4
全称量词与存在量词
同步练习
1．下列命题中，不是全称命题的是
( )．
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是
( )．
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
3．下列命题的否定为假命题的是
( )．
A.
B.
C.
D.
4．若存在x0∈R，使ax02＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是
( )．
A．a<1
B．a≤1
C．－1D．－15．命题p： x0∈R，x02＋2x0＋4<0的否定p：
________．
6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
7．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
8．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
9．已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．