1.4.3
含有一个量词的命题的否定
同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:能被2整除的数是偶数；p:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形；p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形；p:所有的三角形不都是正三角形
D.p: x0∈R，+x0+2≤0；p: x∈R，x2+x+2>0
【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误.
2.关于命题p:“ x∈R，x2+1≠0”的叙述正确的是( )
A.p: x0∈R，+1≠0
B.p: x∈R，x2+1=0
C.p是真命题，p是假命题
D.p是假命题，p是真命题
【解析】选C.命题p:
“ x∈R，x2+1≠0”的否定是“ x0∈R，+1=0”.所以p是真命题，p是假命题.
3.命题“ x>0，都有x2-x≤0”的否定是( )
A. x0>0，使得-x0≤0
B. x0>0，使得-x0>0
C. x>0，都有x2-x>0
D. x≤0，都有x2-x>0
【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.
【变式训练】已知命题p: x0∈R，+1<0，则p是( )
A. x0∈R，+1≥0
B. x∈R，x2+1≥0
C. x0∈R，+1≠0
D. x∈R，x2+1<0
【解析】选B.命题p是一个特称命题，其否定为全称命题，p: x∈R，x2+1≥0.
4.已知p:存在x0∈R，m+1≤0；q:对任意x∈R，x2+mx+1>0，若p或q为假，则实数m的取值范围为( )
A.m≤-2
B.m≥2
C.m≥2或m≤-2
D.-2≤m≤2
【解题指南】先判断命题p，q的真假，转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围，再求交集.
【解析】选B.由p或q为假，得p，q都是假命题，从而p，q都是真命题.
p:对任意x∈R，mx2+1>0成立，得m≥0；
q:存在x0∈R，+mx0+1≤0成立，得Δ=m2-4≥0，
解得m≥2或m≤-2.
综上所述，m≥2为所求.
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.命题“同位角相等”的否定为 ，否命题为 ________________________.
【解析】全称命题的否定是特称命题，“若p，则q”的否命题是“若p，则q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角，则它们不相等.
答案:有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等
【误区警示】解答本题易混淆命题的否定与否命题的概念，命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件又否定结论.
7.设命题p: x∈R，x2+ax+2<0，若p为真，则实数a的取值范围是 ___________________.
【解析】因为p为真，又p: x0∈R，+ax0+2≥0，而函数f(x)=x2+ax+2开口向上，所以a∈R.
答案:a∈R
三、解答题(每小题10分，共20分)
8.已知p: x∈R，2x>m(x2+1)，q: x0∈R，+2x0-m-1=0，且p∧q为真，求实数m的取值范围.
【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p: x∈R，2x>m(x2+1)为真，
则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.
当m=0时，不等式可化为-2x<0，显然不恒成立；
当m≠0时，有m<0，Δ=4-4m2<0，
所以m<-1.
若q: x0∈R，+2x0-m-1=0为真，
则方程+2x0-m-1=0有实根，
所以Δ=4+4(m+1)≥0，所以m≥-2.
又p∧q为真，故p，q均为真命题.
所以m<-1且m≥-2，所以-2≤m<-1.1.4.3
含有一个量词的命题的否定
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1． m0，n0∈Z，使得m＝n＋1998的否定是( )
A． m，n∈Z，使得m2＝n2＋1998
B． m0，n0∈Z，使得m≠n＋1998
C． m，n∈Z，使得m2≠n2＋1998
D．以上都不对
解析：这是一个特称命题，其否定为全称命题，形式是： m，n∈Z，有m2≠n2＋1998.
答案：C
2．命题“ x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )
A． x0∈R，x－2x0＋1<0
B． x0∈R，x－2x0＋1≥0
C． x0∈R，x－2x0＋1≤0
D． x∈R，x2－2x＋1<0
解析：由定义直接可得．
答案：A
3．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0
D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0
解析：由特称命题的否定得出．
答案：D
4．特称命题“ x0 M，p(x0)”的否定是( )
A． x∈M， p(x) B． x M，p(x)
C． x M， p(x)
D． x∈M，p(x)
解析：由特称命题的否定的定义可得．
答案：C
5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B． x∈R，f(x)≥f(x0)
C． x∈R，
f(x)≤f(x0)
D． x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.
答案：C
6．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A． a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B． a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C． a∈R，f(x)是偶函数
D． a∈R，f(x)是奇函数
解析：对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不满足；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则成为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．
答案：C
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．命题“ x0∈R，x≤0”的否定是________．
解析：由题知，本题为特称命题，故其否定为全称命题．
答案： x∈R，x2>0
8．已知命题p：“ x∈R，ex≤1”，则命题 p是________．
解析：由定义直接可得．
答案： x0∈R，ex0>1
9．设命题p：c20，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是________．
答案：－三、解答题(共40分)
10．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1) α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；
(2) x0，y0∈Z，3x0－4y0＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的对数都是正数．
解：(1)假命题，否定为： α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(2)真命题，否定为： x，y∈Z，3x－4y≠20；
(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；
(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．
11．(15分)用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)二次函数的图象是抛物线．
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．
(3) a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4) T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sinx.
解：(1) p： x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．
(2)
p：在直角坐标系中， x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．
(3)
p： a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．
(4)
p： T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sinx，是假命题．
