2.1.1
曲线与方程
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是( )
A．圆 B．两条直线
C．一个点
D．两个点
解析：由已知得即
所以方程表示点(2，－2)．
答案：C
2．已知直线l：x＋y－3＝0和曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)满足( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．既在直线l上，也在曲线C上
C．既不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：把M的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．
答案：B
3．方程＝表示的曲线是( )
A．两条线段
B．两条直线
C．两条射线
D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y，1－y≥0，所以y＝|x|(y≤1)．
答案：A
4．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是( )
A．x＋y＝5
B．x＋y＝5(x≥0)
C．x＋y＝5(y≥0)
D．x＋y＝5(0≤x≤5)
答案：D
5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )
解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断．
答案：D
6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则( )
A．m∈R
B．m∈(－∞，1)
C．m＝1
D．m∈(1，＋∞)
解析：联立y＝x2－x＋2与y＝x＋m得x2－2x＋2－m＝0.由Δ＝4－4(2－m)>0，得m>1.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为________．
解析：由22－a(－3)2＝1，得a＝.
答案：
8．方程x2－y2＝0表示的图形是________．
解析：由x2－y2＝0得y＝±x，所以方程x2－y2＝0表示的图形是两条直线．
答案：两条直线
9．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．
解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为×2×1＝1.
答案：1
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断P(1，－2)，Q(，3)两点是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．
解：(1)因为12＋(－2－1)
2＝10，而()2＋(3－1)2≠10.所以点P(1，－2)在方程表示的曲线上，点Q(，3)不在方程表示的曲线上．
(2)因为点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，解得m＝2或m＝－.
11．(15分)求曲线x2－xy－y2－3
x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标．
解：在方程x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，得x2－3x－4＝0，x＝4或x＝－1.
∴曲线与x轴的交点为(4，0)和(－1，0)．2.1.1
曲线与方程
同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.f(x0，y0)=0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)=0上的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由曲线与方程的概念可知，若点P(x0，y0)在曲线f(x，y)=0上，则必有f(x0，y0)=0；又当f(x0，y0)=0时，点P(x0，y0)也一定在方程f(x，y)=0对应的曲线上，故选C.
2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )
A.y2=x与y=
B.y=lgx2与y=2lgx
C.
=1与lg(y+1)=lg(x-2)
D.x2+y2=1与|y|=
【解析】选D.主要考虑x，y的取值范围，A中y2=x中y∈R，而y=中y≥0，B中y=lgx2中x≠0，而y=2lgx中x>0；C中=1中y∈R，x≠2，而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1，x>2，故只有D正确.
3.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )
【解析】选C.方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分.
4.如果曲线C上点的坐标满足方程F(x，y)=0，则有( )
A.方程F(x，y)=0表示的曲线是C
B.曲线C的方程是F(x，y)=0
C.点集{P|P∈C} {(x，y)|F(x，y)=0}
D.点集{P|P∈C}{(x，
y)|F(x，y)=0}
【解析】选C.A，B错，因为以方程F(x，y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上，若以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则点集{P|P∈C}={(x，y)|F(x，y)=0}，故D错，选C.
二、填空题(每小题4分，共12分)
5.点P(2，-3)在曲线x2-ay2=1上，则a= .
【解析】将(2，-3)代入x2-ay2=1，得a=.
答案:
【变式训练】已知点A(a，2)既是曲线y=mx2上的点，也是直线x-y=0上的一点，则m= .
【解析】因为点A(a，2)在直线x-y=0上，
得a=2，即A(2，2).
又点A在曲线y=mx2上，所以2=m·22，得m=.
答案:
6.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0，则点M(4，-
1) ( )
A.不在圆C上，但在直线l上
B.在圆C上，但不在直线l上
C.既在圆C上，也在直线l上
D.既不在圆C上，也不在直线l上
【解析】选C.将点M(4，-1)的坐标分别代入圆C及直线l的方程，均满足.
7.已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是
( )
A.a>1
B.0
C.01
D.a∈
【解题指南】分别作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再根据图象求a的取值范围.
【解析】选A.因为a>0，所以方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图，要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y=a|x|在y轴右侧的斜率足够大，所以a>1.
三、解答题(每小题12分，共24分)
8.已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)=0和曲线g(x，y)=0的交点，求证:点P在曲线f(x，y)+λg(x，y)=0(λ∈R)上.
【证明】因为P是曲线f(x，y)=0和曲线g(x，y)=0的交点，
所以P在曲线f(x，y)=0上，即f(x0，y0)=0，
P在曲线g(x，y)=0上，即g(x0，y0)=0，
所以f(x0，y0)+λg(x0，y0)=0+λ0=0，
故点P在曲线f(x，y)+λg(x，y)=0(λ∈R)上.
【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技巧
解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念，明确两条原则，即若点的坐标适合方程，则该点必在方程的曲线上；若点在曲线上，则该点的坐标必适合曲线的方程.另外，要证明方程是曲线的方程，根据定义需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.