2.1.2
求曲线的方程
同步练习
1．已知动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是
( )．
A．(x＋1)2＋
(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
2．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是
( )．
A．一条直线
B．一条直线去掉一点
C．一个点
D．两个点
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于
( )．
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
4．已知A(1，0)，B(－1，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是
( )．
A．y＝0(－1≤x≤1)
B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1)
D．y＝0(|x|≥1)
5．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是
( )．
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0)
D．x2＋y2＝9(x≠0)
6．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是________．
7．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是________．
8．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．
9．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．
10．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.求动点P的轨迹方程．
11．已知B(－3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．
12．已知两点M(－1，0)，N(1，0)，动点P使·，·，·成公差大于零的等差数列，求动点P的轨迹方程．2.1.2
求曲线的方程
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．若点M到两坐标轴的距离的积为2008，则点M的轨迹方程是( )
A．xy＝2008
B．xy＝－2008
C．xy＝±2008
D．xy＝±2008(x>0)
答案：C
2．已知点O(0，0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设P点的坐标为(x，y)，则＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
答案：A
3．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，
∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得：x2＋y2＝4.
∵M、N、P不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：D
4．已知A、B两点的坐标分别为(0，－5)和(0，5)，直线MA与MB的斜率之积为－，则M的轨迹方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1(x≠±5)
C.＋＝1
D.＋＝1(x≠0)
解析：设M的坐标为(x，y)，则kMA＝，kMB＝.
由题知·＝－(x≠0)，
即＋＝1(x≠0)．
答案：D
5．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且＝4，则点M的轨迹方程是( )
A．x2＋16y2＝64
B．16x2＋y2＝64
C．x2＋16y2＝8
D．16x2＋y2＝8
解析：设M(x，y)、A(a，0)、B(0，b)，
则a2＋b2＝100.∵＝4，代入方程得25x2＋y2＝100，即16x2＋y2＝64.
答案：B
6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析：∵A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)
∴＝(2，－)，＝(x，)．
∵⊥，
∴·＝0.
得2·x－·＝0得y2＝8x.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．圆心为(1，2)且与直线5x－12y－7＝0相切的圆的方程是________．
解析：圆心到直线的距离等于半径，则
r＝＝＝2，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
答案：(x－1)2＋(y－2)2＝4
8．已知点A(－a，0)、B(a，0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，则直角顶点M的轨迹方程是________．
图1
解析：设点M的坐标为(x，y)．由AM⊥BM，得kAM·kBM＝－1，即
·
＝－1，
化简得x2＋y2＝a2.
因为M、A、B三点不共线，点M的纵坐标y≠0，
从而x≠±a，所以所求轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
答案：x2＋y2＝a2(x≠±a)
三、解答题(共40分)
9．(10分)已知点M到点F(0，1)和直线l：y＝－1的距离相等，求点M的轨迹方程．
图2
解：设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q是点M到直线y＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得＝|y＋1|，将上式两边平方，得x2＋(y－1)2＝(y＋1)2，化简，得y＝x2.①
下面证明方程①是所求轨迹的方程．
(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么y1＝x，即x＋(y1－1)2＝(y1＋1)2，＝|y1＋1|，|M1F|＝|M1Q1|.其中Q1是点M1到直线y＝－1的垂线的垂足，因此点M1是曲线上的点．
由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示．
10．(15分)已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，
|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M的轨迹方程．
解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)，设M(x，y)为轨迹上任意一点，则|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝，|MB|＝，|MC|＝，|MD|＝.
所以
＝.
化简，得y2－x2＋6＝0.所以所求轨迹方程为y2－x2＋6＝0.
图3
