3.1.3 空间向量的数量积运算 课件4

课件72张PPT。3.1.3
空间向量的数量积运算1.空间向量的夹角非零∠AOB [0，π]互相垂直a⊥b2.空间向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a，b，则_______________叫做a与b
的数量积，记作a·b.即a·b=_______________.|a||b|cos|a||b|cos(2)数量积的运算律:a·bλbb·aa·b+a·c(3)空间两向量的数量积的性质|a||a|cos··1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b=0，则a=0或b=0.(　　)
(2)与(a，b)都表示直角坐标系下的点.(　　)
(3)若a，b均为非零向量，则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条
件.(　　)
(4)在△ABC中，< >=∠B.(　　)【解析】(1)错误.当两非零向量a，b的夹角为90°时，其数量积为0.
(2)错误.表示的是空间向量a，b之间的夹角，(a，b)表示直角坐标系下的点.
(3)错误.因a，b均为非零向量，故a·b=|a||b|cos =|a||b|，所以cos=1，故向量a，b共线，反之当a，b共线时，a·b=|a||b|cos=±|a||b|，故错误.(4)错误.在△ABC中，向量 的夹角为∠B，而向量
的夹角与向量 的夹角互补，故此等式不正确.
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1，|b|=2且a与b的夹角为 ，则
a·b=　　　　.
(2)已知|a|= ，|b|= ，a·b=- ，则a与b的夹角为　　　　　　.
(3)已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，|a-b|= ，
则cos=　　　　.【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× =1.
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= ×cos〈a，b〉
得cos〈a，b〉= 故a与b的夹角为135°.
答案：135°
(3)将|a－b|＝ 化为(a－b)2=7，求得a·b＝ 再由a·b
＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝
答案： 【要点探究】
知识点1 空间向量的夹角
1.空间向量夹角的两个关注点
(1)作图:共起点，作空间两个向量夹角时把两个向量起点放在一起.
(2)非负性:两向量夹角为从同一个顶点出发的两个向量所构成的较小的非负角.2.空间向量的夹角与向量位置关系
(1)=0时，向量a，b方向相同.
(2)=π时，向量a，b方向相反.
(3)= 时，向量a⊥b.【微思考】
(1)与相等吗？若两个非零向量垂直，两向量对应夹
角是多少？
提示:与分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向
量夹角的定义，与相等，若两个非零向量垂直，两向
量对应的夹角是 .(2)说出式子 表示的含义，并指出
它们之间有什么关系？
提示： 表示向量 的夹角；
表示向量 的夹角.
相互关系为【即时练】
空间四面体O-ABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC= 则
的值是( )
【解析】选D. ·知识点2 空间向量的数量积
1.对空间向量的数量积的三点说明
(1)运算结果:空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积.
(2)运算符“·”:其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替.(3)注意点:①数量积的符号由夹角的余弦值决定.
②数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c).
③当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0.
④空间向量没有除法运算:即若a·b=k，则没有a= .2.对空间向量数量积性质的三点说明
(1)向量模的应用:
|a|= :该式子可以解决有关空间长度问题.
(2)向量夹角的应用:空间中两条直线(特别是两条异面直线)
的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得.
(3)数量积的应用:两非零向量a，b，若a·b=0则两向量对应的直
线相互垂直.·【知识拓展】空间向量数量积的几何意义
类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上
投影(空间中称为射影)的过程.已知图中向量 =a，l为轴，向量e是l上与l轴同方向的单位向量，
作点A在l上的射影A′，作点B在l上的射影B′，则 称为向量
在轴l上或在e的方向上的正射影；可以证明A′B′=
| |cos=a·e.
注意:轴l上的正射影 对应的数值A′B′是一个可正可负
可零的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小
代表在l上射影的长度.【微思考】
(1)利用数量积怎样证明两个向量垂直？
提示:要证明两个非零向量垂直，即= ，只需证明a·b=0
即可.
(2)两向量运算满足多项式的运算法则吗？
提示:两向量运算满足多项式的运算法则，如常见的数量积运
算(a+b)(a-b)=a2-b2，
(a±b)2=(a±b)(a±b)=a2±2a·b+b2.【即时练】
若a，b，c为任意向量，下列命题是真命题的是(　　)
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若a·b=a·c，则b=c
C.(a·b)·c=a·(b·c)=(a·c)·b
D.若|a|= |b|，且a，b夹角为45°，则(a-b)⊥b【解析】选D.对于A，模相等的向量不一定是相等向量，不成立；
对于B，当a=0时，则不一定成立；对于C，因为a·b，b·c，a·c仅
表示实数所以不成立；对于D，因(a-b)·b=a·b-b2= |a|·|b|cos45°-|b|2=0，故成立.【题型示范】
类型一 数量积的计算
【典例1】
(1)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD， PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　)(2)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点.求下列向量的数量积:··【解题探究】1.题(1)观察图形中直线PC与直线BD，直线DA与
直线PB，直线PD与直线AB，直线PA与直线CD是否垂直？
2.题(2)中长方体中向量 用向量 如何表示？
【探究提示】1.因直线BD与AC是否垂直不确定，故直线PC与
直线BD不一定垂直，DA与PB垂直，PD与AB垂直，PA与CD垂直.
2. 【自主解答】(1)选A.由图分析可知，选项B，C，D中两向量的
夹角均为90°，所以数量积都为0.
(2)如图所示，设 =a， =b， =c，
则|a|=|c|=2，|b|=4，
a·b=b·c=c·a=0.
①
=|b|2=42=16.
② ·
= =|c|2-|a|2=22-22=0.······【延伸探究】若题(2)的条件不变，结论改为计算
则结果如何？
【解析】····【方法技巧】
1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算.
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b=|a||b|cos〈a，b〉求解．【变式训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1(棱长为1)，A1C1∩B1D1=O，
求 ·【解析】所以········【补偿训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则
=　　　　.
【解析】连接向量，
= a× a×cos60°=a2.
答案:a2·····类型二 利用数量积求夹角或模
【典例2】
(1)已知空间四面体OABC各边及对角线
长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则向量 与向量 所成
角的余弦值为　　　　.(2)在如图平行四边形ABCD中，| |＝4，| |＝3，∠D＝
60°，PA⊥平面ABCD，| |＝6，则向量 的模为多少？【解题探究】1.题(1)中 可用哪些向量表示？
的模怎么求？
2.题(2)中向量 模长的计算公式是什么？
【探究提示】1.用 表示向量 借助正三角
形△OAB，△BOC求 与 的模.
2. 【自主解答】(1)设 =a， =b，
=c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝
则a·b＝b·c＝c·a＝
因为 ＝ (a＋b)，所以
设 与 所成的角为θ，
所以向量 与向量 所成角的余弦值为
答案： ·······(2)因为
所以
所以| |=7.···【延伸探究】若把题(1)中的结论“向量 与向量 所成角
的余弦值”改为“求异面直线OE与BF所成角的余弦值”结果
如何？
【解析】如上题(1)所求设 与 所成的角为θ，
又因异面直线所成角为锐角或直角，
所以OE与BF所成角的余弦值为··【方法技巧】两个非零向量夹角求法的两个途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解.(2)利用数量积求夹角的余弦值【变式训练】如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′=30°，AB=a，AC=BD=b，求CD的长.【解析】由AC⊥α，可知AC⊥AB.由∠DBD′＝30°，
可知〈 〉＝60°，所以
＝b2＋a2＋b2＋2(0＋b2cos 60°＋0)＝a2＋3b2，
所以 即CD＝····【补偿训练】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 与 夹角
的大小．【解析】不妨设正方体的棱长为1，
又因为
所以
因为0°≤〈 〉≤180°，
所以〈 〉＝60°.
所以 与 夹角的大小为60°.·······类型三 利用数量积解决垂直问题
【典例3】
(1)已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知在空间四面体OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.【解题探究】1.题(1)中向量a，b是否共线，要证线面垂直，
需满足的条件有哪些？
2.题(2)中向量 能否用向量 表示？若要用向量证明
直线OA⊥BC，需证明的结论是什么？
【探究提示】1.不能确定向量a，b是否共线，需要进行讨论，
要证线面垂直，需满足的条件有直线与平面内的两条相交直
线垂直.
2. 需证明的结论是 =0.·【自主解答】(1)选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0.
(2)因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB.所以∠AOC＝∠AOB.
因为
所以 所以OA⊥BC.····【方法技巧】利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法.
先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否为0.【变式训练】已知|a|＝ |b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，
〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．
【解题指南】利用m⊥n可得m·n=0进而建立与向量a，b有关
的等量关系，利用等量关系求字母的值.【解析】由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(λ＋1)× ×4cos 135°＋16λ＝0，
即4λ＋6＝0，所以λ＝
答案： 【补偿训练】如图，已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是______.【解题指南】先找出与CA，DB对应的空间向量，再利用向量
间的关系判断两直线的位置关系.
【解析】因为
所以CA⊥DB.
答案：垂直····【拓展类型】数量积的应用
【备选例题】(1)设A，B，C，D是空间
不共面的四点，且满足
则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D.不确定···(2)如图所示，如果直线AB与平面α交于点B，且与平面α内的经过点B的三条直线BC，BD，BE所成的角相等．求证：AB⊥平面α.【解析】(1)选B.如图所示，
设
所以 ＝(a－b)·(c－b)
＝a·c－b·c－a·b＋b2＝b2＞0.
同理
所以△BCD的各内角均为锐角，即△BCD为锐角三角形．···(2)在直线BC，BD，BE上取
因为 与 所成的角相等，
所以
所以·····即
所以AB⊥DC，AB⊥DE.
又DC∩DE＝D，
所以AB⊥平面α.··【方法技巧】
1.判断三角形的形状
利用数量积的符号可以判断两向量夹角是钝角、锐角还是直角，进而能够判断对应三角形的形状.
2.证明垂直
利用两向量数量积是否等于0，判断两向量是否垂直，进而可判断与垂直有关的几何问题.【规范解答】利用向量的数量积求异面直线所成的角
【典例】(12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，
AB=BC=1，AA1= ，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1：解题时若忽视条件∠ABC＝90°，即得不出①处的
结论，则本例基本不得分.
失分点2：解题时若忽视直三棱柱的条件，则不能得出②处结
论 则实际的考试中最多得2分.
失分点3：解题时若忽视异面直线所成角的范围，导致③处结
果写为 则实际的考试中至少会扣掉2分.··【悟题】提措施，导方向
1.关注两种意识
(1)范围意识：对于异面直线所成角，要注意其所成角的范围
为 余弦值的范围为[0，1).
(2)转化意识：把异面直线所成角与直线方向向量所成角进行
合理转化.2.关注向量表示
在运用向量进行计算时注意，找部分夹角特殊，长度特殊的向
量用这样的向量表示直线的方向向量，如本例中用
表示所求解的向量.
3.利用向量法求两异面直线的夹角的关注点
利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面
直线所成的角或者是其补角(注意异面直线所成角的范围)．如
本例中两异面直线所成角的余弦值为正数，而非负数.【类题试解】已知在正方体中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．【解析】设正方体的棱长为2.
所以
又 即
所以
所以〈 〉=60°，
即异面直线AC和MN所成的角为60°.········