3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件2
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| 名称 | 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件2 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 980.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-14 18:30:33 | ||
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文档简介
课件59张PPT。3.1.4
空间向量的正交分解及其坐标表示1.空间向量的分解
(1)条件:i，j，k是空间三个_________的向量.
(2)结论:对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使
得p=xi+yj+zk，我们称_________为向量p在i，j，k上的分向量.
2.空间向量基本定理
(1)条件:向量a，b，c_______.
(2)结论:对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得
p=_________.两两垂直xi，yj，zk不共面xa+yb+zc3.基底
(1){a，b，c}是空间的一个基底的条件:a，b，c_______.
(2)基向量:空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c叫做基向量.
(3)单位正交基底:向量e1，e2，e3为有__________且___________
_________.不共面公共起点O两两垂直的单位向量4.空间直角坐标系
(1)原点:以单位正交基底e1，e2，e3的__________为原点.
(2)方向:分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴_______.
(3)坐标:若向量p=xe1+ye2+ze3，则把x，y，z称作向量p在单位
正交基底e1，e2，e3下的坐标.记作p=________.公共起点O正方向(x，y，z)1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.( )
(2)向量 的坐标与点P的坐标一致.( )
(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}
使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3.( )【解析】(1)错误.只要三个向量不共面就可作为空间向量的一组基底，故此种说法错误.
(2)错误.向量的坐标不一定对应点的坐标，只有以原点为起点的向量的坐标与对应有向线段终点的坐标一致.
(3)错误.由空间向量基本定理，对空间中的任意向量a都存在有序实数组{λ1，λ2，λ3}，使得a=λ1a1+λ2a2+λ3a3，故此种说法错误.
答案:(1)× (2)× (3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a=2i-j+3k，则向量a的坐标为 .
(2)若向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是 .(3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.
已知AB=AD=2，BB1=1，则 的坐标为 ， 的坐标
为 .【解析】(1)由向量的单位正交表示知向量a的坐标为(2，-1，3).
答案:(2，-1，3)
(2)由正交基底的定义知，只有当向量a，b，c两两垂直时，才能成
为空间向量的正交基底，故向量a，b，c的位置关系是两两垂直.
答案:两两垂直
(3)根据已建立的空间直角坐标系知A(0，0，0)，C1(2，2，1)，
D1(0，2，1)，则 的坐标为(0，2，1)， 的坐标为(2，2，1).
答案:(0，2，1) (2，2，1)【要点探究】
知识点1 空间向量基本定理
空间向量基本定理的三个关注点:
(1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a，b，c可以线性表示出空间中任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.
(2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.(3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，p=xe1+ye2+ze3，则p的坐标为(x，y，z).【知识拓展】
1.空间向量基本定理的证明
存在性证明的四个步骤(如图)
(1)平移：把不共面的向量a，b，c与
向量p平移到公共的起点O上，使 =a，
=b， =c， =p.(2)平行投影：过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点
P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A′，B′.
(3)表示：存在三个实数x，y，z，使
(4)求和代入：2.空间向量基本定理中实数组{x，y，z}惟一性的证明
设还有实数x′，y′，z′，使p=x′a+y′b+z′c，
因为p=xa+yb+zc，则x′a+y′b+z′c=xa+yb+zc，所以有(x′-x)a+(y′-y)b+(z′-z)c=0.
又因为a，b，c不共面，所以有x=x′，y=y′，z=z′，故空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是惟一的.【微思考】
(1)空间向量的基底与基向量是同一概念吗？
提示:不是.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(2)0可以是基向量吗？
提示:不可以.由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.【即时练】
在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c=λa+μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.①正确，基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线，当c=λa+μb时，a，b，c共面，故只有①②正确.知识点2 空间向量的正交分解及坐标表示
1.单位正交基底的特点:
(1)位置:三个向量两两垂直且有公共起点O.
(2)模长:每个向量的模都等于1.
(3)记法:一般记作{e1，e2，e3}，{i，j，k}等.2.空间直角坐标系:
以单位正交基底e1，e2，e3的公共起点O为原点，以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点:
①记法:空间坐标系O-xyz；
②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面，它们分别为xOy面，xOz面和yOz面；③坐标向量:e1，e2，e3叫坐标向量；
④画法:一般使用∠xOy=45°或135°，∠yOz=90°；
⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x，y，z)，x，y，z分别叫横坐标、纵坐标、竖坐标.【微思考】
(1)在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？
提示:关键是利用几何图形特征，尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线，若找不到则应想法构建.
(2)同一个几何体中的点在不同的空间直角坐标系下坐标是否相同？
提示:由于建立的坐标系不同，从而各点在不同的坐标系下坐标不一定相同，但本质是一样的.【即时练】
已知A(2，3-μ，-1+ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7，-6)，则λ，μ，ν的值为( )
A.λ=-2，μ=-4，ν=-5 B.λ=2，μ=-4，ν=-5
C.λ=-2，μ=10，ν=8 D.λ=2，μ=10，ν=7
【解析】选D.因为点A(2，3-μ，-1+ν)关于x轴的对称点是横坐标不变，纵坐标与竖坐标变为原来的相反数，即为(2，μ-3，1-ν)，所以有λ=2，μ-3=7，1-ν=-6，即λ=2，μ=10，ν=7.【题型示范】
类型一 基底的概念
【典例1】
(1)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间的一个基底.给出下列向量组:
①{a，b，x}；②{x，y，z}；
③{b，c，z}；④{x，y，a+b+c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有 个.(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 =e1+2e2-e3，
=-3e1+e2+2e3， =e1+e2-e3，试判断{ }能否作为空
间的一个基底.【解题探究】1.题(1)中由x=a+b，y=b+c，z=c+a可想到向量的哪
一种运算法则？可构造哪一种空间图形来表示对应向量，从而说
明向量是否共面？
2.题(2)中若要判断向量 共面需满足的关系式是什么？
【探究提示】1.由x=a+b，y=b+c，z=c+a可联想到向量运算的平
行四边形法则，可利用长方体中的有向线段表示对应向量.
2.若向量 共面，则有 成立.【自主解答】(1)如图所示，设a=
a+b+c＝ 由A，B1，D1，C四点不共面
可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，
c，z和x，y，a+b+c也不共面，可以作为
空间的基底.因x=a+b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
故可为空间基底的向量组共有3个.
答案：3(2)假设 共面，由向量共面的充要条件知存在实数
x，y，使 成立．
所以 =e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)
=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
得 无解，
故 不共面，可以构成空间的一个基底.【方法技巧】基底的判断
判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.【变式训练】设命题p:空间向量a，b，c是三个非零向量；命题q:{a，b，c}为空间向量的一个基底，则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】从基底的定义和充要条件判断思考，先由p判断q是否成立，再由q判断p是否成立.
【解析】选B.当三个向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间向量的一个基底，但是当{a，b，c}为空间向量的一个基底时，必有a，b，c为非零向量.因此命题p是命题q的必要不充分条件.
【误区警示】易错选A，忽视构成基底的三个向量满足的条件而导致错误.【补偿训练】若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z
使得xa+yb+zc=0，则x，y，z满足的条件是 .
【解析】若x≠0，则a= 即a与b，c共面.由{a，b，c}
是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x=0，同理y=z=0.
答案:x=y=z=0 类型二 用基底表示向量
【典例2】
(1)在四面体O-ABC中， D为BC的中点，
E为AD的中点，则 ＝( )(2)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
设 试用a，b，c表示【解题探究】1.题(1)中向量 在哪个三角形中，能得到的
向量关系式是什么？
2.题(2)中向量 在哪个三角形或平行四边形中， 与
的关系是什么样的？
【探究提示】1. 在三角形OAE中，向量
2.连接AN，则 在三角形AMN中，在平行四边形ABCD中【自主解答】(1)选C.
(2)连接AN，则
由ABCD是平行四边形，得
则又
故
故【延伸探究】若题(2)结论改为用向量a，b，c表示 ，则结果如何？
【解析】连接 ，则
故【方法技巧】用基底表示向量的技巧
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.【变式训练】四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.
设 E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，
c表示
【解题指南】结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法
则和公式，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全
部可以用基底表示为止．【解析】连接BO，则
【补偿训练】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
设 E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示
(2)若 ＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．【解析】(1)如图，
所以x＝ ，y＝－ ，z＝－1.类型三 空间向量的坐标表示
【典例3】
(1)已知在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为
D1C1，B1C1的中点，若以{ }为基底，则向量 的
坐标为______，向量 的坐标为______，向量 的坐标为
_______.(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC
的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，
求向量 的坐标．【解题探究】1.题(1)中若求向量 及 的坐标，首先
应如何处理？
2.图形中的哪些向量可作为单位正交基底？如何用这个基底表
示向量 ？
【探究提示】1.应先用 表示出所求向量 及
2.因为AP＝AD＝AB＝1，故可把向量 看作单位正交基
底，可利用三角形法则或平行四边形法则把向量 写成
的形式，即可得向量的坐标．【自主解答】(1)
所以 相对于基底{ }的坐标为
所以 的坐标为
所以 的坐标为(1，1，1).
答案：(2)因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设
因为
所以【方法技巧】用坐标表示空间向量的步骤【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分
别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写
出 的坐标．【解析】设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向
与各轴上的正方向相同，
则 ＝2e1+2e2+2e3，所以 ＝(2，2，2)．
因为 ＝2e1+2e2+e3，所以 ＝(2，2，1)．
又因为 ＝e2，所以 ＝(0，1，0).【补偿训练】已知正四面体ABCD棱长为a，试建立恰当的坐标
系并表示出各个顶点的坐标．
【解析】过A作AG垂直于平面BCD，
由于AB＝AC＝AD，所以G为△BCD的重心，
过G作GF∥CD，E为CD的中点，连结BE，
则BE⊥CD，以G为原点， 分别
为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△BCD的边长为a，
则
又 ，所以
又BG＝ 所以AG＝
所以【易错误区】求解空间点的坐标时建系不当致误
【典例】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建
立适当的空间直角坐标系，则 的
坐标分别为_________， _________．【解析】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别
以 的方向为x轴，y轴，z轴的
正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，则
所以
答案： (答案不惟一)【常见误区】【防范措施】
建立恰当坐标系求解点的坐标
在解题时，建立适当的空间直角坐标系是解答关键，如本例中若选取点B(或A)为原点，应注意BA与BC(或AB与AC)不垂直，此时需要在平面ABC中作FB⊥BC(或EA⊥AC)，否则易出现错误.【类题试解】在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝ AO＝4，
BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐
标系中， 的坐标分别为_______，________．【解析】(1)因为
又 所以
(2)因为
又 所以 ＝(－4，2，－4)．
答案：(-2，-1，-4) (-4，2，-4)
空间向量的正交分解及其坐标表示1.空间向量的分解
(1)条件:i，j，k是空间三个_________的向量.
(2)结论:对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使
得p=xi+yj+zk，我们称_________为向量p在i，j，k上的分向量.
2.空间向量基本定理
(1)条件:向量a，b，c_______.
(2)结论:对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得
p=_________.两两垂直xi，yj，zk不共面xa+yb+zc3.基底
(1){a，b，c}是空间的一个基底的条件:a，b，c_______.
(2)基向量:空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c叫做基向量.
(3)单位正交基底:向量e1，e2，e3为有__________且___________
_________.不共面公共起点O两两垂直的单位向量4.空间直角坐标系
(1)原点:以单位正交基底e1，e2，e3的__________为原点.
(2)方向:分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴_______.
(3)坐标:若向量p=xe1+ye2+ze3，则把x，y，z称作向量p在单位
正交基底e1，e2，e3下的坐标.记作p=________.公共起点O正方向(x，y，z)1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.( )
(2)向量 的坐标与点P的坐标一致.( )
(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}
使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3.( )【解析】(1)错误.只要三个向量不共面就可作为空间向量的一组基底，故此种说法错误.
(2)错误.向量的坐标不一定对应点的坐标，只有以原点为起点的向量的坐标与对应有向线段终点的坐标一致.
(3)错误.由空间向量基本定理，对空间中的任意向量a都存在有序实数组{λ1，λ2，λ3}，使得a=λ1a1+λ2a2+λ3a3，故此种说法错误.
答案:(1)× (2)× (3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a=2i-j+3k，则向量a的坐标为 .
(2)若向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是 .(3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.
已知AB=AD=2，BB1=1，则 的坐标为 ， 的坐标
为 .【解析】(1)由向量的单位正交表示知向量a的坐标为(2，-1，3).
答案:(2，-1，3)
(2)由正交基底的定义知，只有当向量a，b，c两两垂直时，才能成
为空间向量的正交基底，故向量a，b，c的位置关系是两两垂直.
答案:两两垂直
(3)根据已建立的空间直角坐标系知A(0，0，0)，C1(2，2，1)，
D1(0，2，1)，则 的坐标为(0，2，1)， 的坐标为(2，2，1).
答案:(0，2，1) (2，2，1)【要点探究】
知识点1 空间向量基本定理
空间向量基本定理的三个关注点:
(1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a，b，c可以线性表示出空间中任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.
(2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.(3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，p=xe1+ye2+ze3，则p的坐标为(x，y，z).【知识拓展】
1.空间向量基本定理的证明
存在性证明的四个步骤(如图)
(1)平移：把不共面的向量a，b，c与
向量p平移到公共的起点O上，使 =a，
=b， =c， =p.(2)平行投影：过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点
P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A′，B′.
(3)表示：存在三个实数x，y，z，使
(4)求和代入：2.空间向量基本定理中实数组{x，y，z}惟一性的证明
设还有实数x′，y′，z′，使p=x′a+y′b+z′c，
因为p=xa+yb+zc，则x′a+y′b+z′c=xa+yb+zc，所以有(x′-x)a+(y′-y)b+(z′-z)c=0.
又因为a，b，c不共面，所以有x=x′，y=y′，z=z′，故空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是惟一的.【微思考】
(1)空间向量的基底与基向量是同一概念吗？
提示:不是.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(2)0可以是基向量吗？
提示:不可以.由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.【即时练】
在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c=λa+μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.①正确，基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线，当c=λa+μb时，a，b，c共面，故只有①②正确.知识点2 空间向量的正交分解及坐标表示
1.单位正交基底的特点:
(1)位置:三个向量两两垂直且有公共起点O.
(2)模长:每个向量的模都等于1.
(3)记法:一般记作{e1，e2，e3}，{i，j，k}等.2.空间直角坐标系:
以单位正交基底e1，e2，e3的公共起点O为原点，以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点:
①记法:空间坐标系O-xyz；
②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面，它们分别为xOy面，xOz面和yOz面；③坐标向量:e1，e2，e3叫坐标向量；
④画法:一般使用∠xOy=45°或135°，∠yOz=90°；
⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x，y，z)，x，y，z分别叫横坐标、纵坐标、竖坐标.【微思考】
(1)在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？
提示:关键是利用几何图形特征，尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线，若找不到则应想法构建.
(2)同一个几何体中的点在不同的空间直角坐标系下坐标是否相同？
提示:由于建立的坐标系不同，从而各点在不同的坐标系下坐标不一定相同，但本质是一样的.【即时练】
已知A(2，3-μ，-1+ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7，-6)，则λ，μ，ν的值为( )
A.λ=-2，μ=-4，ν=-5 B.λ=2，μ=-4，ν=-5
C.λ=-2，μ=10，ν=8 D.λ=2，μ=10，ν=7
【解析】选D.因为点A(2，3-μ，-1+ν)关于x轴的对称点是横坐标不变，纵坐标与竖坐标变为原来的相反数，即为(2，μ-3，1-ν)，所以有λ=2，μ-3=7，1-ν=-6，即λ=2，μ=10，ν=7.【题型示范】
类型一 基底的概念
【典例1】
(1)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间的一个基底.给出下列向量组:
①{a，b，x}；②{x，y，z}；
③{b，c，z}；④{x，y，a+b+c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有 个.(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 =e1+2e2-e3，
=-3e1+e2+2e3， =e1+e2-e3，试判断{ }能否作为空
间的一个基底.【解题探究】1.题(1)中由x=a+b，y=b+c，z=c+a可想到向量的哪
一种运算法则？可构造哪一种空间图形来表示对应向量，从而说
明向量是否共面？
2.题(2)中若要判断向量 共面需满足的关系式是什么？
【探究提示】1.由x=a+b，y=b+c，z=c+a可联想到向量运算的平
行四边形法则，可利用长方体中的有向线段表示对应向量.
2.若向量 共面，则有 成立.【自主解答】(1)如图所示，设a=
a+b+c＝ 由A，B1，D1，C四点不共面
可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，
c，z和x，y，a+b+c也不共面，可以作为
空间的基底.因x=a+b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
故可为空间基底的向量组共有3个.
答案：3(2)假设 共面，由向量共面的充要条件知存在实数
x，y，使 成立．
所以 =e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)
=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
得 无解，
故 不共面，可以构成空间的一个基底.【方法技巧】基底的判断
判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.【变式训练】设命题p:空间向量a，b，c是三个非零向量；命题q:{a，b，c}为空间向量的一个基底，则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】从基底的定义和充要条件判断思考，先由p判断q是否成立，再由q判断p是否成立.
【解析】选B.当三个向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间向量的一个基底，但是当{a，b，c}为空间向量的一个基底时，必有a，b，c为非零向量.因此命题p是命题q的必要不充分条件.
【误区警示】易错选A，忽视构成基底的三个向量满足的条件而导致错误.【补偿训练】若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z
使得xa+yb+zc=0，则x，y，z满足的条件是 .
【解析】若x≠0，则a= 即a与b，c共面.由{a，b，c}
是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x=0，同理y=z=0.
答案:x=y=z=0 类型二 用基底表示向量
【典例2】
(1)在四面体O-ABC中， D为BC的中点，
E为AD的中点，则 ＝( )(2)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
设 试用a，b，c表示【解题探究】1.题(1)中向量 在哪个三角形中，能得到的
向量关系式是什么？
2.题(2)中向量 在哪个三角形或平行四边形中， 与
的关系是什么样的？
【探究提示】1. 在三角形OAE中，向量
2.连接AN，则 在三角形AMN中，在平行四边形ABCD中【自主解答】(1)选C.
(2)连接AN，则
由ABCD是平行四边形，得
则又
故
故【延伸探究】若题(2)结论改为用向量a，b，c表示 ，则结果如何？
【解析】连接 ，则
故【方法技巧】用基底表示向量的技巧
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.【变式训练】四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.
设 E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，
c表示
【解题指南】结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法
则和公式，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全
部可以用基底表示为止．【解析】连接BO，则
【补偿训练】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
设 E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示
(2)若 ＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．【解析】(1)如图，
所以x＝ ，y＝－ ，z＝－1.类型三 空间向量的坐标表示
【典例3】
(1)已知在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为
D1C1，B1C1的中点，若以{ }为基底，则向量 的
坐标为______，向量 的坐标为______，向量 的坐标为
_______.(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC
的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，
求向量 的坐标．【解题探究】1.题(1)中若求向量 及 的坐标，首先
应如何处理？
2.图形中的哪些向量可作为单位正交基底？如何用这个基底表
示向量 ？
【探究提示】1.应先用 表示出所求向量 及
2.因为AP＝AD＝AB＝1，故可把向量 看作单位正交基
底，可利用三角形法则或平行四边形法则把向量 写成
的形式，即可得向量的坐标．【自主解答】(1)
所以 相对于基底{ }的坐标为
所以 的坐标为
所以 的坐标为(1，1，1).
答案：(2)因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设
因为
所以【方法技巧】用坐标表示空间向量的步骤【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分
别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写
出 的坐标．【解析】设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向
与各轴上的正方向相同，
则 ＝2e1+2e2+2e3，所以 ＝(2，2，2)．
因为 ＝2e1+2e2+e3，所以 ＝(2，2，1)．
又因为 ＝e2，所以 ＝(0，1，0).【补偿训练】已知正四面体ABCD棱长为a，试建立恰当的坐标
系并表示出各个顶点的坐标．
【解析】过A作AG垂直于平面BCD，
由于AB＝AC＝AD，所以G为△BCD的重心，
过G作GF∥CD，E为CD的中点，连结BE，
则BE⊥CD，以G为原点， 分别
为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△BCD的边长为a，
则
又 ，所以
又BG＝ 所以AG＝
所以【易错误区】求解空间点的坐标时建系不当致误
【典例】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建
立适当的空间直角坐标系，则 的
坐标分别为_________， _________．【解析】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别
以 的方向为x轴，y轴，z轴的
正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，则
所以
答案： (答案不惟一)【常见误区】【防范措施】
建立恰当坐标系求解点的坐标
在解题时，建立适当的空间直角坐标系是解答关键，如本例中若选取点B(或A)为原点，应注意BA与BC(或AB与AC)不垂直，此时需要在平面ABC中作FB⊥BC(或EA⊥AC)，否则易出现错误.【类题试解】在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝ AO＝4，
BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐
标系中， 的坐标分别为_______，________．【解析】(1)因为
又 所以
(2)因为
又 所以 ＝(－4，2，－4)．
答案：(-2，-1，-4) (-4，2，-4)