3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课件4

课件68张PPT。3.1.5
空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则
(1)空间向量的坐标运算:(a1+b1，a2+b2，a3+b3)(a1-b1，a2-b2，a3-b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1+a2b2+a3b3(2)空间向量平行和垂直的条件:
①平行:a∥b(b≠0)?a=λb?
当b的坐标b1，b2，b3全不为0时，
a∥b?
②a⊥b?_______?_______________.a1=λb1 a2=λb2 a3=λb3 a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0(3)两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：
①模：|a|＝_____________，
|b|＝____________；
②夹角：cos〈a，b〉＝_____________________；
③向量的坐标及两点间的距离公式：
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则 ＝__________________，
| |＝___________________________.(x2-x1，y2-y1，z2-z1)1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于空间任意两个向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，若a与b共线，则 (　　)
(2)空间向量a=(1，1，1)为单位向量.(　　)
(3)若向量 =(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).(　　)【解析】(1)错误.当b=(b1，b2，b3)中的b1，b2，b3中存在0时，式子
无意义，故此种说法错误.
(2)错误.空间向量a=(1，1，1)的长度为 故向量
a=(1，1，1)不是单位向量.
(3)错误.由向量的坐标表示知，若向量 的起点A与原点重合，
则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量 的起点A不与原点重合，
则B点的坐标就不为(x1，y1，z1).
答案:(1)×　(2)×　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知a=(2，-1，-2)，b=(0，-1，4)，则a+b=　　　　，-2b=　　　　，a·b=　　　　.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，2，3)，点B的坐标为(4，5，6)，则 =　　　　.
(3)若a=(2x，1，3)，b=(1，-2y，9)，如果a与b为共线向量，则x=　　　　，y=　　　　.【解析】(1)利用向量坐标运算的公式分别计算得a＋b=
(2，-2，2)， －2b＝(0，2，－8)，a·b＝-7.
答案：(2，－2，2) (0，2，－8) －7
(2) ＝(4-1，5-2，6-3)=(3，3，3).
答案：(3，3，3)
(3)因为a与b为共线向量，故
得
答案：【要点探究】
知识点1 空间向量的坐标运算
1.对空间向量的坐标的三点说明
(1)向量的坐标:即终点坐标减去起点对应坐标.
(2)点的坐标:求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时向量的坐标与终点的坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点的坐标才是终点的坐标.(3)正交基底表示坐标:在空间中选一点O和一个单位正交基底{e1，e2，e3}，若向量a=xe1+ye2+ze3，则有序数组(x，y，z)就叫向量a的坐标.2.对空间向量坐标运算的两点说明
(1)类比平面向量坐标运算:空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广.推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即a=(x，y).而在空间中则表示为a=(x，y，z).
(2)运算结果:空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.【微思考】
(1)当a≠0时，λa是否可以为0？
提示:不可以.当λ=0时，λa=(0，0，0)=0，并不是0.
(2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同？
提示:空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，算法是相同的，但空间向量比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的.【即时练】
已知a=(-3，2，5)，b=(1，5，-1)，求:
(1)a+b.　(2)6a.　(3)3a-b.　(4)a·b.
【解析】由坐标运算法则得
(1)a+b=(-3+1，2+5，5-1)=(-2，7，4).
(2)6a=6(-3，2，5)=(-18，12，30).
(3)3a-b=3(-3，2，5)-(1，5，-1)=(-10，1，16).
(4)a·b=(-3，2，5)·(1，5，-1)=-3+10-5=2.知识点2 空间向量的平行与垂直
对空间两个向量平行与垂直的两点说明
(1)类比平面向量平行、垂直:空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的.
(2)转化:判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直.【知识拓展】三个点共线的充要条件
三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是
简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要
条件为 即向量 与向量 共线，其坐标对应成比【微思考】
(1)把向量 =(x，y，z)平移后，其坐标有没有变化？
提示：向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起点与终点的坐标．
(2)空间向量垂直的坐标运算结果对应的值是否是一个实数0？
提示：若两向量垂直，由数量积的意义知数量积为0.【即时练】
已知a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x).
(1)当a⊥b时，x=　　　　.
(2)当a∥b时，x=　　　　.【解析】(1)由a·b=－8－2+3x=0，得x=
答案：
(2)由a∥b得 即得x=－6.
答案：-6知识点3 空间向量的夹角与距离
对空间两向量夹角与距离的四点说明
(1)范围:空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当
所求两向量夹角为钝角时，两直线夹角是与此钝角互补的锐角.
(2)夹角公式的一致性:无论在平面还是空间，两向量的夹角余
弦值都是cos= ，只是坐标运算时空间向量多了一个
竖坐标.·(3)长度公式的类似性:空间向量的长度与平面向量的长度公式
形式一致，坐标运算时空间向量多了一个竖坐标.
(4)空间两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根据向量的
减法推出向量 的坐标表示，然后再用长度公式推出.【微思考】
(1)两条异面直线的夹角与两条异面直线的方向向量的夹角何时相等？何时互补？
提示:当两异面直线的方向向量的夹角是锐角或直角时，这两个方向向量的夹角就是这两条异面直线的夹角，否则互补.
(2)空间中两点间的距离公式中坐标的顺序是否可以颠倒？
提示:可以.因为两点间距离公式是相应坐标差的平方和的平方根，故颠倒顺序后不影响结果.【即时练】
当cos的值分别满足下列条件时，求a与b所成的角.
(1)cos=1.
(2)cos=-1.
(3)cos=0.【解析】(1)由cos〈a，b〉＝1得cos〈a，b〉=
=1，即有a·b=|a||b|，所以a与b同向，故a与b的夹角是0.
(2)由cos〈a，b〉＝-1得cos〈a，b〉= =－1，即有
a·b=－|a||b|，所以a与b反向，故a与b的夹角是π.
(3)由cos〈a，b〉＝0得cos〈a，b〉= =0，即有a·b=0，
所以a与b垂直，故a与b的夹角是···【题型示范】
类型一 用空间向量的坐标运算求点的坐标
【典例1】
(1)已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若
则C的坐标是( )(2)设O为坐标原点，向量 ＝(1，2，3)， ＝(2，1，2)，
＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当 取得最
小值时，求点Q的坐标．·【解题探究】1.题(1)中能建立与点C坐标有关的等式吗？是哪
一个？ 向量的坐标是多少？
2.题(2)中向量 与 的关系如何？可得到的向量关系式是
什么？向量 与向量 怎样用向量 来表示？【探究提示】1.能建立与点C坐标有关的等式，是
＝(－3，－2，－4).
2.向量 与 共线，可设 则【自主解答】(1)选A.设点C坐标为(x，y，z)，
则 ＝(x，y，z)．又 ＝(－3，－2，－4)，
所以
(2)设 所以
＝(1，2，3)－λ(1，1，2)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2，1，2)－λ(1，1，2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则 ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)
＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)
＝6λ2－16λ＋10，
所以当λ＝ 时， 取得最小值．
又
所以，所求点Q的坐标为··【方法技巧】空间向量坐标的求法
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．
(2)利用运算求坐标：通过空间向量间的坐标运算求得新向量的标．
(3)利用方程组求坐标：给出条件求空间向量坐标的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标．【变式训练】已知O为原点，A，B，C，D四点的坐标分别为：A(2，－4，1)，B(3，2，0)，C(－2，1，4)，D(6，3，2)．
求满足下列条件的点P的坐标．【解析】(1) ＝(3，2，0)－(－2，1，4)
＝(5，1，－4)，
所以 ＝2(5，1，－4)＝(10，2，－8)，
所以点P的坐标为(10，2，－8)．(2)设P(x，y，z)，则 ＝(x－2，y＋4，z－1)．
又 ＝(1，6，－1)， ＝(－8，－2，2)，
所以 ＝(9，8，－3)，
所以(x－2，y＋4，z－1)＝(9，8，－3)，
所以 解得
所以点P的坐标为(11，4，－2)．【误区警示】本题给出了求点P坐标的两种情况，要注意当向量
的始点不为原点时，求终点坐标需将向量的坐标加上始点坐标.
解答此类问题，要注意向量的起点是否在原点，即 =(xB，yB，zB)-(xA，yA，zA).【补偿训练】已知△ABC中，A(2，－5，3)， ＝(4，1，2)，
＝(3，－2，5)，求顶点B，C的坐标及
【解析】设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以 ＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为 ＝(4，1，2)，所以 解得
所以B的坐标为(6，－4，5)．因为 ＝(3，－2，5)，
所以 解得
所以C的坐标为(9，－6，10)， ＝(－7，1，－7)．类型二 坐标形式下的平行与垂直
【典例2】
(1)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则 是a∥b的
(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设
①设|c|＝3，c∥ ，求c；
②若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.【解题探究】1.题(1)中根据充要条件的相关知识考虑此命题的条件是什么？
2.题(2)中由条件c∥ ，能得到的向量c与向量 的关系式
是什么？向量ka＋b与ka－2b互相垂直，其数量积的值等于多少？
【探究提示】1. 是条件.
2.由条件c∥ 能得到的向量c与向量 的关系式是c＝λ ，向量ka＋b与ka－2b互相垂直，其数量积的值等于0.【自主解答】(1)选A.设 ＝k，易知a∥b，即条件
具有充分性．又当b＝0时，b＝(0，0，0)，虽有a∥b，但条件 显然不成立，所以条件不具有
必要性，故选A.(2)①因为 ＝(－2，－1，2)且c∥ ，
所以设c＝λ ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
所以|c|＝ ＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.
所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．②因为a＝ ＝(1，1，0)，b＝ ＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝【延伸探究】将本例(2)②中“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值．
【解析】a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，
b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．
a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)，因为ka＋b与a＋kb平行，所以ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，
所以 则 或··【方法技巧】向量平行与垂直问题的两种类型
(1)平行与垂直的判断.
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线；
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．【变式训练】已知空间三个向量a=(1，-2，z)，b=(x，2，-4)，
c=(-1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x=　　　　　，
y=　　　　　，z=　　　　.
【解析】因为a⊥b，所以x-4-4z=0.
因为a⊥c，所以-1+(-2)y+3z=0.
因为b⊥c，所以-x+2y-12=0，
所以x=-64，y=-26，z=-17.
答案:-64　-26　-17【补偿训练】已知a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b)，求k的值.
(2)若(ka+b)⊥(a-3b)，求k的值.
【解题指南】先对向量(ka+b)与(a-3b)进行化简用坐标表示，再利用平行与垂直的关系式求对应k的值.【解析】ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．
(1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以 解得k＝
(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，
所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，
解得k＝类型三 向量夹角与长度的计算
【典例3】
(1)已知A点的坐标是(-1，-2，6)，B点的坐标是(1，2，-6)，
O为坐标原点，则向量 与 的夹角是( )
(2)已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为 底面的边长为
E是SA的中点，求 与 的夹角．【解题探究】1.题(1)中如何求| |，| |的值？
2.题(2)中如何由正四棱锥的特点建立空间直角坐标系？ 与
的夹角公式是什么？
【探究提示】1.利用向量 的坐标，求对应向量的模.
2.因正四棱锥的顶点在底面上的射影是底面的中心，故以正方
形ABCD的中心为坐标原点建立坐标系较好.cos〈 〉＝·【自主解答】(1)选C.cos〈 〉=
所以〈 〉=π.·(2)建立如图所示的空间直角坐标系．由于
可以求得SO＝
则
由于E为SA的中点，
所以
所以因为
所以
所以〈 〉＝120°.·【方法技巧】求两直线夹角的步骤
(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上.
(2)求方向向量：依据点的坐标求出直线方向向量的坐标.
(3)代入公式：利用两向量的夹角公式计算两直线方向向量的夹角.
(4)转化：把两向量的夹角转化为异面直线的夹角时注意角的范围.【变式训练】如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别
是A1B1，A1A的中点.
(1)求 的长.
(2)求cos〈 〉的值．【解析】由于CA，CB，CC1两两互相垂直，故以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)依题意知B(0，1，0)，N(1，0，1)，
故
(2)由上易知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，
C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
于是 ＝(1，－1，2)， ＝(0，1，2)， ＝3，
| |＝ | |＝
故cos〈 〉＝··【补偿训练】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG= CD，H是C1G的中点.利用空间
向量解决下列问题:
(1)求EF与B1C所成的角.
(2)求F，H两点间的距离.【解析】如图所示，以 为单位正交基底建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，E(0，0， )，F( 0)，
C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0， 0).(1) ＝(－1，0，－1)，
所以 ·(－1，0，－1)
＝ ×(－1)＋ ×0＋(- )×(－1)＝0.
所以 即EF⊥B1C.
所以EF与B1C所成的角为90°.·(2)因为H是C1G的中点，所以H
又F
所以FH＝【易错误区】由向量的夹角求参数的取值范围时忽略隐含或限
制条件而致误
【典例】已知a＝(5，3，1)，b＝(-2，t， )，且a与b的夹角
为钝角．则t的取值范围为________．【解析】由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1× ＝3t－
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.
由a·b<0，得3t－ <0，所以t<
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb (λ<0)，
即(5，3，1)＝λ(-2，t， )，所以
解得t＝
所以t的取值范围是
答案： ··【常见误区】【防范措施】
隐含或限制条件的挖掘
　　对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含或限制条件，对题目条件进行等价转化，对于公式中的特殊情形要记清，不要漏掉，如本例中夹角为钝角要在a·b<0中剔除夹角为180°的情况.【类题试解】已知向量a=(1，0，-1)，
则下列向量中与a成60°夹角的是　(　　)
A.(-1，1，0)　　　　B.(1，-1，0)　　　　
C.(0，-1，1)　　　　D.(-1，0，1)
【解题指南】直接利用向量的夹角与数量积公式逐一验证.
【解析】选B.(1，0，-1)·(-1，1，0)=-1，夹角不可能为60°，
(1，0，-1)·(1，-1，0)=1，且|(1，0，-1)|=|(1，-1，0)|= ，
夹角恰好为60°.