3.2.1 立体几何中的向量方法 课件2

课件62张PPT。3.2.1　立体几何中的向量方法
　空间向量与平行关系1.点的位置向量
(1)基点:在空间中，我们取一定点O作为基点.
(2)向量表示:空间中任意一点P的位置可以用________来表示.
我们把________称为点P的位置向量.2.用向量表示空间直线
(1)确定空间直线l位置的两个条件:
①直线l上一个______；②一个_______.
(2)向量表达式:点A是直线l上的一个点，向量a表示直线l的方向
向量，在直线l上取 =a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在
实数t，使得 =_____.定点A定方向(3)空间直线的向量表达式的两点作用:
①定位置:点A和向量a可以确定直线的_____；
②定点:可以具体表示出l上的任意_____.
3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件
(1)向量a表示直线l的_________；
(2)直线l___平面α.位置一点方向向量⊥4.用向量描述空间平行关系
设空间两条直线l，m的方向向量分别为a=(a1，a2，a3)， b=(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u=(u1，u2，u3)， v=(v1，v2，v3)，则有如下结论a∥ba=kb，k∈Ra⊥ua·u=0a1u1+a2u2+a3u3=0u∥v1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量 都可作为该直
线的方向向量.(　　)
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向
量的两条不重合直线一定平行.(　　)
(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
该直线与平面平行.(　　)【解析】(1)正确.直线的方向向量有无数多个，与直线平行的向量都可作为直线的方向向量，故此种说法正确.
(2)正确.若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条直线可能重合，也可能平行.因为两条直线不重合，所以它们一定平行，故此种说法正确.
(3)正确.由线面平行的判定定理知，若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.
答案:(1)√　(2)√　(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若点A(-1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是　　　　.
(2)若直线l的方向向量是u=(1，3，0)，平面α的法向量是v=
(-3，1，5)，则直线l与平面α的位置关系为　　　　.
(3)空间两平面α，β的法向量分别是u=(1，3，0)，v=(-3，-9，0)，则平面α，β的位置关系为　　　　.【解析】(1)向量 可以作为直线l的方向向量，
又已知A(-1，0，1)，B(1，4，7)，故 =(2，4，6).
答案:(2，4，6)
(2)因为u·v=(1，3，0)·(-3，1，5)=0，所以直线l与平面α的位置关系为平行或直线在平面内.
答案:l?α或l∥α
(3)由u=(1，3，0)，v=(-3，-9，0)得(-3，-9，0)=-3(1，3，0)，故u∥v，所以平面α，β的位置关系为平行.
答案:平行【要点探究】
知识点1 点、直线、平面位置的向量表示
1.点、直线、平面位置确定的关键
(1)确定点:用向量确定空间中的任意一个点，关键是确定一个基点.
(2)确定直线:用向量确定一条直线，关键是确定一个点和一个方向向量.(3)确定平面:
①一个定点两个向量:用向量确定一个平面，关键是理解平面向
量基本定理，即存在有序实数对(x，y)使得 =xa+yb，这样点O
与向量a，b不仅能确定一个平面，而且还能具体表示出平面内的
一个点.
②一个点一个向量:给定一个点和一个向量，过这个点，以这个
向量为法向量的平面惟一确定.2.对直线方向向量的三点说明
(1)方向向量的选取:在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个
方向向量
(2)方向向量的不惟一性:直线的方向向量不是惟一的，可以分
为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.解题时，可以选取
坐标最简的方向向量.
(3)非零性:直线的方向向量是非零向量.3.对平面法向量的两点说明
(1)平面法向量的选取:平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量.
(2)平面法向量的不惟一性:一个平面的法向量不是惟一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取.【微思考】
(1)若点A为定点，向量a为给定向量，对任给实数t，有 ＝
ta，那么点P的轨迹是什么？
提示：点P的轨迹是过A平行于向量a的一条直线．
(2)已知两定点A，B，点M满足 试确定点M的
位置．
提示：因为 所以 所以
因此点M为线段AB的中点．(3)在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？
提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．【即时练】
若a=(1，2，3)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)
A.(0，1，2) B.(3，6，9)
C.(-1，-2，3) D.(3，6，8)
【解析】选B.因为a=(1，2，3)，(3，6，9)=3(1，2，3)=3a，所以向量(3，6，9)能作为平面α的法向量.知识点2 用向量法解决空间中的平行问题
空间中平行问题的确定策略
(1)直线与直线平行:关键看直线的方向向量是否共线.
(2)直线与平面平行:关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的直线的方向向量是否共线.特别要强调直线在平面外.
(3)平面与平面平行:关键看两平面的法向量是否共线.【知识拓展】利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤
(1)适当地选取基底{a，b，c}，一般情况下要知道a，b，c的长度和两向量的夹角.
(2)用a，b，c表示已知条件和明确需要解决的问题，将立体几何问题转化为空间向量问题.
(3)根据具体问题的要求通过空间向量的运算进行计算和证明.【微思考】
(1)空间两向量的平行与空间两直线的平行含义相同吗？
提示:空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合.
(2)若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线的方向向量a=(a1，a2，a3)与另一平面的法向量b=(b1，b2，b3)的关系是什么？
提示:两向量的关系为垂直，即a⊥b?(a1，a2，a3)·(b1，b2，b3)=0 ?a1·b1+a2·b2+a3·b3=0.【即时练】
根据下列条件，判断相应的平面与平面、直线与平面的位置关系.
(1)空间两平面α，β的法向量分别为u=(1，3，6)，v=(-2，-6，-12).
(2)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(3，2，1)， v=(1，-2，1).【解析】(1)因为u=(1，3，6)，v=(-2，-6，-12)，
所以v=-2(1，3，6)=-2u，所以u∥v，所以α∥β.
(2)因为a=(3，2，1)，v=(1，-2，1)，
所以a·v=3-4+1=0，a⊥v，所以l?α或l∥α.【题型示范】
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
【典例1】
(1)已知直线l1的一个方向向量为(-7，3，4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x=　　　，y=　 .(2)四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量.【解题探究】1.题(1)中两条直线平行，两条直线对应的方向向量关系如何？
2.题(2)中直线AD与平面SAB是否垂直，其方向向量能否作为平面SAB的法向量，平面SCD的法向量所在的直线与直线DC，DS是否垂直？【探究提示】1.若两条直线平行则两条直线的方向向量共线，其坐标对应成比例.
2.直线AD与平面SAB垂直，直线AD的方向向量可以作为平面SAB的法向量；平面SCD的法向量所在的直线与直线DC，DS垂直.【自主解答】(1)因为l1∥l2，所以
所以x＝-14，y＝6.
答案：-14 6
(2)A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)．
因为AD⊥平面SAB，所以 ＝(1，0，0)是平面SAB的一个法
向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
则n· ＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0，所以y＝
又n· ＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，所以z＝
所以n＝ 即为平面SCD的一个法向量.【方法技巧】
1.利用待定系数法求平面法向量的步骤2.求平面法向量的三个注意点
(1)选向量:在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量.
(2)取特值:在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量.
(3)注意0:提前假定法向量n=(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.【变式训练】如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量.
(2)若∠PDA＝45°，求证 为平面PCD的一个法向量．【解析】(1)取PD的中点E，
连接NE，AE，
因为N是PC的中点，
所以NE∥DC，NE= DC.
又DC∥AB，DC=AB，
AM＝ AB，
所以AM∥ CD，AM= CD，所以NE∥AM，NE=AM.
所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE.
所以 为直线MN的一个以A为起点的方向向量．(2)在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，
所以AP＝AD，所以AE⊥PD，
又因为MN∥AE，所以MN⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，
因为AE?平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为MN∥AE，所以CD⊥MN，又因为CD∩PD=D，
所以MN⊥平面PCD.
所以 为平面PCD的一个法向量．【补偿训练】两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1，0，
-1)，v2=(-2，0，2)，则l1与l2的位置关系是　 .
【解析】由直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1，0，-1)，v2=(-2， 0，2)，所以v2=-2v1，即v2∥v1，所以l1与l2的位置关系是平行.
答案:平行类型二 利用空间向量证明空间平行问题
【典例2】
(1)已知直线l的方向向量为u=(2，0，-1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的一个法向量为v=(-2，1，-4)，则l与α的位置关系为　　　　.(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFDB.【解题探究】1.题(1)中直线l上有一点P不在平面α内，则直线与平面的位置关系怎样？向量u与v共线还是垂直？
2.题(2)中依据正方体的特点如何建立空间直角坐标系才能使尽可能多的点落在坐标轴或坐标面上？【探究提示】1.因为直线l上有一点P不在平面α内，则直线在平面外；向量u与v的数量积为0，故两向量垂直.
2.分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.可使大部分点落到坐标轴或坐标面上.【自主解答】(1)因为u·v=(2，0，-1)·(-2，1，-4)=-4+0+4=0，所以u⊥v，又因为直线l上有一点P不在平面α内，所以l∥α.
答案:l∥α(2)如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，A1(a，0，a)， D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).所以
所以
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为
m=(x1，y1，z1)和n=(x2，y2，z2)，则
所以
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．..同理由 可得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
因为m＝n，所以m∥n，
所以平面AMN∥平面EFDB...【延伸探究】若把题(1)中的条件“直线l上有一点P不在平面α内”去掉，则结果如何？
【解析】因为直线l上有一点P不在平面α内说明了直线在平面外，若没有这个条件则直线也有可能在平面内所以l∥α或l?α.【方法技巧】
1.向量法处理空间平行问题的两个应用
(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值.
(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式.2.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.3.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1=(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2=(a2，b2，c2)，则α//β?n1∥n2?(a1，b1，c1)=k(a2，b2，c2) (k∈R).【变式训练】如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点M，N分
别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点.
求证:MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN= AD′.【解题指南】证明MN∥侧面AD′可以先选取基底利用共面向量
定理证明向量 与平面AD′内的两不共线向量共面.【证明】设 ＝a， ＝b， ＝c，
则 ＝ (a+c)， ＝c+ (a+b)，
因此 ＝ (b+c)．
因为M不在平面AD′内，
所以MN∥平面AD′.
又因为b+c=
所以
因此MN∥AD′，MN＝ AD′.【补偿训练】在底面是菱形的四棱锥
P -ABCD中，F为PC的中点，点E在PD上，
且 ＝2.求证：BF∥平面AEC.
【证明】因为
所以 共面．
又BF?平面AEC，从而BF∥平面AEC.【巧思妙解】利用平面向量基本定理巧证平行问题
【典例】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.【教你审题】【常规解法】如图所示，以D为原点，DA，
DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建
立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则可求得 D(0，0，0)，
A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
于是 ＝(1，0，1)， ＝(1，1，0)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n· ＝0，且n· ＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1)．
又 ·(1，－1，－1)＝0，所以 ⊥n.
又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. .【巧妙解法】
因为
所以 而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，所以MN∥
平面A1BD.【方法对比】
常规法利用建系设点求向量处理，切入点好找，缺点是计算量大易出错，而巧妙解法则是利用平面向量基本定理直接判断直线与平面平行，减少了计算量.【教你一招】
平面向量基本定理妙用
(1)共面向量证明线面平行:已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，得l∥α或l在α内?存在两个实数x，y，使v=xv1+yv2.
(2)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系.
(3)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.【类题试解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=3，|AD|=4， |AA1|=2.点M在棱BB1上，且|BM|=2|MB1|，点S在DD1上，且|SD1|=2|SD|，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证:MN∥RS.【常规解法】如图所示，建立空间直角坐标系，
则根据题意得M(3，0， )，N(0，2，2)，R(3，2，0)，
S(0，4， ).
所以 所以
因为M?RS，所以MN∥RS.【巧妙解法】设
则
所以 所以
又因为R?MN，所以MN∥RS.