3.2.2 立体几何中的向量方法 课件5

课件63张PPT。3.2.2
空间向量与垂直关系空间垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u=(u1，u2，u3)，v=(v1，v2，v3)，则a⊥ba·b=0a∥ua=λu，λ∈Ru⊥v1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交.(　　)
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　)
(3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.(　　)【解析】(1)错误.两直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直，但它们不一定相交也可能异面.
(2)正确.由直线与平面垂直的定义知，若直线与平面垂直，则直线与平面内的所有直线都垂直.故直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.
(3)错误.两垂直平面内的直线可能相交也可能平行，故此种说法错误.
答案:(1)× (2)√ (3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若直线l1的方向向量为u1=(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，-1，2)，则两直线的位置关系是　　　　.
(2)若直线l的方向向量为a=(1，0，2)，平面α的法向量为n=
(-2，0，-4)，则直线l与平面α的位置关系为　　　　.
(3)已知两平面α，β的法向量分别为u1=(1，0，1)，u2=(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为　　　　.【解析】(1)因为 =(1，-1，1)，又u1· =(1，3，2)·
(1，-1，1)=0，故两直线位置关系为垂直.
答案:垂直
(2)因为a=(1，0，2)，n=(-2，0，-4)，所以n=-2a，即a∥n.所以l⊥α.
答案:垂直
(3)因为u1·u2=(1，0，1)·(0，2，0)=0，所以两平面的法向量垂直，即两平面垂直.
答案:垂直【要点探究】
知识点 空间垂直关系的向量表示
空间中线、面垂直关系与向量关系的三种类型
(1)空间两直线的垂直:分为相交垂直和异面垂直，都可以转化为两直线的方向向量相互垂直.
(2)直线与平面的垂直:空间直线与平面的垂直可转化为直线的方向向量与平面的法向量的共线关系.(3)两个平面的垂直:两个平面的垂直可转化为两个平面的法向量相互垂直.【微思考】
(1)确定直线方向向量的两种方法是什么？
提示:一是用空间一个基底表示，二是建立空间直角坐标系，写出方向向量的坐标.
(2)用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.【即时练】
设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，平面α的法向量是v，根据下列条件判断l1，l2及平面α的位置关系.
(1)a=(5，0，2)，b=(0，1，0)；
(2)a=(-2，-1，-1)，b=(4，-2，-8).
(3)a=(2，0，3)，v=(1，-4，-3).【解析】(1)因为a=(5，0，2)，b=(0，1，0)，
所以a·b=0，a⊥b，所以l1⊥l2.
(2)因为a=(-2，-1，-1)，b=(4，-2，-8)，
所以a与b不共线也不垂直.
所以l1与l2相交或异面.
(3)因为a=(2，0，3)，v=(1，-4，-3)，
所以a与v既不共线也不垂直，所以l1与α斜交.【题型示范】
类型一 向量法处理线线垂直问题
【典例1】
(1)已知空间三点A(0，0，1)，B(-1，1，1)，
C(1，2，-3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为　　　　.(2)如图，△ABC中，AC=BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证:AB⊥PC.【解题探究】1.题(1)中，点M满足的条件有哪些？
2.题(2)中，向量 能否作为基底？用向量法如何证明
直线AB⊥PC？
【探究提示】1.点M满足两个条件：一是A，B，M共线，二是
CM⊥AB.
2.因为向量 不共面所以可以作为基底.若要证明直线
AB⊥PC可通过判断两直线的方向向量的数量积是否为0去证明.【自主解答】(1)设M(x，y，z)，又 ＝(－1，1，0)，
＝(x，y，z－1)， ＝(x－1，y－2，z＋3)，
由点M在直线AB上得 与 共线即x=－λ，y=λ，z－1=0，
又CM⊥AB，向量 与向量 的数量积为0，
即 · =0得-(x－1)+(y－2)=0，联立得
所以x＝－ ，y＝ ，z＝1，
所以点M的坐标为
答案：(2)设
由条件知，v是平面ABC的法向量，
所以v·a＝0，v·b＝0，
因为D为AB中点，所以 ＝ (a＋b)，
因为O在CD上，
所以存在实数λ，使因为CA＝CB，所以|a|＝|b|，
所以 ＝(b－a)·[ (a+b)+v]
＝ (a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v
＝ (|b|2-|a|2)＋b·v－a·v＝0，
所以 所以AB⊥PC.·【方法技巧】
1.利用向量法证明线线垂直
往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．2.应用线线垂直求点的坐标的策略
(1)设出点的坐标.
(2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程.
(3)通过解方程的方法求出点的坐标.3.用向量法证明垂直问题的三个关键点
关键点1：建立恰当的坐标系，空间直角坐标系是把图形与数字建立联系的桥梁，选择好合适的坐标系可以有效地减化运算；
关键点2：转化，通过向量运算研究空间中线线、线面、面面间的垂直关系.
关键点3：“翻译”，把向量的运算结果翻译成空间元素的位置关系.【变式训练】在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是
AB，BC上的动点，且AE=BF，求证:A1F⊥C1E.
【解题指南】依题意建立空间直角坐标系，求出点A1，F，
C1，E的坐标，表示出向量 与 计算 的值进而
判断两直线关系.【证明】以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
则E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．
所以 ＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
因为 ＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
所以 即A1F⊥C1E.·【补偿训练】已知正方体ABCD -A′B′C′D′中，点M，N分别
是棱BB′与对角线CA′的中点．
求证：MN⊥A′C；MN⊥BB′.
【解题指南】正方体是特殊几何体，从一顶点出发的三条棱相
互垂直，故先建系，再求出点的坐标，最后只要验证
＝0， ＝0即可．··【证明】设正方体棱长为1，以A为原点，AB，AD，AA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则M(1，0， )，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A′(0，0，1)，
B′(1，0，1)，
＝(1，1，－1)， ＝(0，0，1)．
因为 ·(1，1，－1)＝0，
·(0，0，1)＝0，
所以MN⊥A′C；MN⊥BB′.··类型二 向量法处理线面垂直问题
【典例2】
(1)已知 ＝(1，5，－2)， ＝(3，1，z)，若
＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分
别为( )(2)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
证明：AB⊥平面VAD.【解题探究】1.题(1)中由BP⊥平面ABC可得向量 与向量
的关系是什么？ 与向量 的关系是什么？
2.题(2)中若以D点为坐标原点如何建系？
【探究提示】1.向量 与向量 垂直， 与向量 垂直.
2.因为VAD为正三角形且平面VAD与平面ABCD垂直，所以可以以
DA，DC为x轴，y轴，以平行于三角形VAD中AD边上的高线的直
线为z轴建系.【自主解答】(1)选B. ＝3＋5－2z＝0，
所以z＝4.又BP⊥平面ABC，
所以 ＝x－1＋5y＋6＝0，①
＝3x－3＋y－3z＝0，②
由①②得···(2)以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系.
不妨设A(1，0，0)，则B(1，1，0)， =(0，1，
0)， 由 =0，得AB⊥VA，又AB⊥AD，
因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直.所以AB⊥平
面VAD.·【方法技巧】用向量法证明线面垂直的方法及步骤
(1)基向量法.
①确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；
②找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；
③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论.(2)坐标法.
方法一:①建立空间直角坐标系；
②将直线的方向向量用坐标表示；
③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
④分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0；
方法二:①建立空间直角坐标系；
②将直线的方向向量用坐标表示；
③求出平面的法向量；
④判断直线的方向向量与平面的法向量平行.【变式训练】在四棱锥P-ABCD中，
AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD= ，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4.
(1)设平面PAB∩平面PCD=m，求证:CD∥m.
(2)求证:BD⊥平面PAC.【证明】(1)因为AB∥CD，CD?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB.
因为CD?平面PCD，平面PAB∩平面PCD=m，所以CD∥m.
(2)因为AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(4，0，0)，P(0，0，4)，D(0， ，0)，C(2， ，0)，
所以 =(-4， ，0)， =(2， ，0)， =(0，0，4)，
所以 =(-4)×2+ × +0×0=0，
=(-4)×0+ ×0+0×4=0，
所以BD⊥AC，BD⊥AP.
因为AP∩AC=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.··【补偿训练】在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点.试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.【解析】建立空间直角坐标系如图，则
A(0，0，0)，F(1，2，0)，B1(2，0，3)，D1(0，2，3)，
设E(2，y，z)，则 ＝(2，y－2，z－3)，
＝(1，2，0)， ＝(2，0，3)，
因为D1E⊥平面AB1F，
所以
即 解得
所以E(2，1， )即为所求．··类型三 向量法处理面面垂直问题
【典例3】
(1)平面α，β的法向量分别为m=(1，2，-2)，n=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于　　　　.
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC，
E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.
①求证:CE∥平面C1E1F.
②求证:平面C1E1F⊥平面CEF.【解题探究】1.题(1)中由α⊥β则平面α，β的法向量关系如何？
2.题(2)中如何建立空间直角坐标系？
【探究提示】1.若α⊥β，则平面α，β的法向量垂直，其数量积为0.
2.以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.【自主解答】(1)由α⊥β知，m·n=0.
所以-2-8-2k=0，解得k=-5.
答案:-5
(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC=1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)， F(1，1，1)，E1 ①设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
因为 ＝(1， ，0)，
＝(－1，0，1)，
所以
即
取n＝(1，2，1)．
因为 ＝(1，－1，1)，n· ＝1－2＋1＝0，
所以 ⊥n.又因为CE?平面C1E1F，所以CE∥平面C1E1F.··②设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，
由 ＝(0，1，0)， ＝(－1，0，－1)，
所以 即
取m＝(－1，0，1)．
因为m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，
所以平面C1E1F⊥平面CEF.··【延伸探究】若题(2)条件不变，求证：CF⊥平面C1EF.
【证明】由例题可知，E(1，0，1)，F(1，1，1)，C(0，1，0)，
C1(0，1，2)，所以 ＝(1，0，1)， ＝(1，0，－1)，
＝(0，1，0)．所以 ＝1×1＋0×0＋1×(－1)＝0，
＝1×0＋0×1＋1×0＝0.
所以
所以CF⊥C1F，CF⊥EF.
因为C1F∩EF＝F，所以CF⊥平面C1EF.··【方法技巧】证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．【变式训练】如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为 ，
侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.求证:平面
B1EF⊥平面BDD1B1.【解题指南】先设出平面B1EF的法向量为n=(x，y，z)，再利用法向量与平面内的向量垂直建立方程组求出法向量的坐标，可用赋值法处理.【证明】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0，0，0)，
设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)．
则n· ＝－ y－4z＝0，n· ＝0.
解得x＝y，z＝ 令y＝1得n＝(1，1， )，
平面BDD1B1的一个法向量为
而n·
即n⊥ 所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.【补偿训练】如图，在四棱锥E -ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.
求证：平面ADE⊥平面ABE.【证明】取BE的中点O，连接OC，又AB⊥平面BCE，
所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.如图所示．则由已知
条件有C(1，0，0)，B(0， ，0)，E(0， ，0)，D(1，0，
1)，A(0， ，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n· ＝(a，b，c)·(0， )＝ -2c＝0，
n· ＝(a，b，c)·(－1， ，1)＝－a＋ b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝ ，所以n＝(0，1， )，
又AB⊥平面BCE，OC?平面BCE，所以AB⊥OC，
因为BE⊥OC，AB∩BE于点B，所以OC⊥平面ABE，
所以平面ABE的法向量可取为m＝(1，0，0)．
因为n·m＝(0，1， )·(1，0，0)＝0，
所以n⊥m，所以平面ADE⊥平面ABE.【规范解答】利用向量证明垂直关系
【典例】(12分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，C1B1的中点，G为CC1上任一点， tan∠ECD=4.
(1)求证:AG⊥EF.
(2)在CC1上是否存在点G，使AG⊥面CEF，并说明理由.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1:若在①处不能很好地利用条件tan∠ECD=4.借助∠ECD=∠CEC1，设出CC1与EC1的长度值，则本例将不得分；
失分点2:若在②处不会设出点G的坐标从而不能有效地建立与点G有关的等量关系，则本例最多得5分.
失分点3:若在③处不能有效地把线面垂直转化到线线垂直，即不能与向量建立联系，则本例最多得8分.【悟题】提措施，导方向
存在性问题的处理思路
(1)初步判断，一般我们可以先找特殊点如中点、三等分点等，
再对特殊点进行验证，若不正确就构造三角形中位线或平行四
边形，利用平行四边形的性质证明线线平行，
(2)逆应用即把结论当作已知条件从变化中寻找不变的量，灵活
利用线线，线面，面面垂直的相关定理.如本例中把使AG⊥面CEF，
转化为AG⊥CE，即 =0处理.·(3)利用向量进行转化，把空间几何问题利用向量进行转化时大胆设出点的坐标，构造等量关系式，如本例据条件设出G(2a，2a，b).【类题试解】已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，
∠DAB=90°， PD⊥底面ABCD，且PD=DA=CD=2AB=2，M点为PC的中点.
(1)求证:BM∥平面PAD.
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.所以以D为
坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示)．
由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，
所以D(0，0，0)，A(2，0，0)，
B(2，1，0)，C(0，2，0)，
P(0，0，2)，M(0，1，1)，
所以 ＝(－2，0，1)， ＝(0，2，0)，因为DC⊥平面PAD，
所以 是平面PAD的法向量，又因为 ＝0，且BM?平面
PAD，所以BM∥平面PAD.·(2)设N(x，0，z)是平面PAD内一点，则 ＝(x，－1，z－1)，
＝(0，0，2)， ＝(2，1，0)，
若MN⊥平面PBD，则 即
所以在平面PAD内存在点N( ，0，1)，使MN⊥平面PBD.