3.2.3 立体几何中的向量方法 课件2

课件81张PPT。3.2.3
空间向量与空间角空间三种角的向量求法|cos||cos|..|cos|[0，π].1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相
等.(　　)
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角
的平面角的余弦值为cos= (　　)
(3)直线与平面所成角的范围为 (　　).【解析】(1)错误.两异面直线所成的角的范围为 ，两直线
的方向向量所成角的范围为[0，π].
(2)错误.二面角的范围为[0，π]，两向量所成角的范围为
[0，π]，虽然范围一致，但两向量所成的角与二面角不一定一致，
因平面的法向量的指向有两个，两向量所成的角与二面角所成
的角同为直角、锐角、钝角时才相等.
(3)错误.当直线与平面垂直时所成角为 .
答案:(1)×　(2)×　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为　　　　.
(2)若直线的方向向量为u1=(1，1，1)，平面的法向量为u2=(2，2，2)，则直线与平面所成角的正弦值为　　　　.
(3)若直线l1的方向向量为u1=(1，3，2)，直线l2的方向向量为u2=(2，-1，1)，则两直线所成的角的余弦值为　　　　.【解析】(1)cos=
所以=45°.所以二面角为45°或135°.
答案:45°或135°
(2)因为u1=(1，1，1)与u2=(2，2，2)共线易得直线与平面垂直，
则直线与平面所成的角的正弦值为1.
答案:1.(3)因为u1·u2=(1，3，2)·(2，-1，1)=1，
|u1||u2|=
则两直线所成的角的余弦值为|cos|=
答案:..【要点探究】
知识点 向量法求空间角
1.两条异面直线所成的角的两个关注点
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，
而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成的角θ∈ ，故两直线的方向向量
夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值.2.对直线与平面所成角的两点说明
(1)互余关系:若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量和
平面的法向量夹角为φ，则其关系为sinθ=|cosφ|.
(2)对应关系:若直线l(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所
成的角为θ，
当∈ 时，θ= -；
当∈ 时，θ=- .3.二面角范围的辨别
若二面角为θ，两平面的法向量夹角为α，则|cosθ|=|cosα|，需分辨角θ是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出.4.“一作，二证，三求”计算空间角
一作:即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移法求解，线面角的关键是作出斜线在平面上的射影，二面角的关键是利用三垂线定理找二面角；
二证:找到对应角后利用异面直线所成角，线面所成角，面面所成角的定义证明对应角就是所求角；
三求:一般来说是通过解三角形求解.要注意异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的范围.【微思考】
(1)若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角的关系.
提示:相等或互补
(2)利用向量法求空间角时，关键需找到哪些量？
提示:关键要找到直线的方向向量与平面的法向量.【即时练】
已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为　　　　.【解析】 ＝(－1，2，0)， ＝(－1，0，3)．设平面ABC
的法向量为n＝(x，y，z)．
由n· ＝0，n· ＝0知
令x＝2，则y＝1，z＝
所以平面ABC的一个法向量为n＝(2，1， )．平面xOy的一个
法向量为 ＝(0，0，3)．由此易求出所求二面角的余弦值
为
答案： 【题型示范】
类型一 异面直线所成的角
【典例1】
(1)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为(　　)(2)在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶
点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC
＝2，∠VDC＝θ.当θ＝ 时，求异面直线AC与VD所成角的余
弦值．【解题探究】1.题(1)中如何建立空间直角坐标系？异面直线D1C与BE所对应的方向向量分别是多少？
2.题(2)中在坐标系中如何确定点A，C，V，D的坐标？【探究提示】1.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则异面直线BE
与D1C的方向向量分别为 ＝(－1，0，1)， ＝(－1，0，2).
2.由AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)．再结合θ＝ 可得V(0，0， ).【自主解答】(1)选B.以A为原点，AB，AD，AA1
所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐
标系，设AB＝1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，
C(1，1，0)，因为AA1＝2AB，所以E(0，0，1)，
D1(0，1，2)，所以 ＝(－1，0，1)， ＝(－1，0，2)，
所以
(2)AC＝BC＝2，D是AB的中点，
所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)．..当θ＝ 时，在Rt△VCD中，CD＝
故V(0，0， )．
所以 ＝(－2，0，0)， ＝(1，1， )．
所以
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为..【方法技巧】求异面直线夹角的两种方法
(1)几何法.
①方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解.过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解.主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围.
②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论.(2)向量法.
①方法:利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即cosθ=|cosφ|.
②关注点:求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算.【变式训练】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1， ∠ABC=90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是　　　　.【补偿训练】如图所示，三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平
面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA= ，求异
面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1， )，A( ，0，0)，A1( ，1，
)，B(0，2，0)，所以
所以
所以异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为...类型二 直线与平面所成的角
【典例2】
(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(　　)(2)如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3.
①证明:AC⊥B1D；
②求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【解题探究】1.题(1)中可利用哪个条件建立空间直角坐标系？
2.题(2)中可借助题目中的哪些条件建立空间直角坐标系？直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值用向量如何表示？【探究提示】1.可利用侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC
内的射影为△ABC的中心，建立空间直角坐标系.
2.利用AB，AD，AA1两两垂直可以建立空间直角坐标系.设n是平
面ACD1的一个法向量，则直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值
sinθ=|cos|= .【方法技巧】
1.直线和平面所成的角的向量公式
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ=|cosθ|= .2.利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量
(3)求平面的法向量n.
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝..【变式训练】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　)【解题指南】建立空间直角坐标系，先计算直线A1B1对应的方
向向量 ，再求出平面A1EF的法向量，然后利用向量公式求
出A1B1与平面A1EF夹角的正弦值.【解析】选B.建系如图，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，
1)，E(1， ，0)，F(0， ，1)，
B1(1，1，1)． ＝(0，1，0).
设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则 即
令y＝2，则 所以n＝(1，2，1)，
cos〈n， 〉＝
即所求角的正弦值为 ...【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B与平面A1B1CD所成
角的大小为　　　　.
【解析】以D为原点，DA，DC，DD1分别为
x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，
C(0，1，0).
所以 =(1，0，1)， =(0，1，0).设平面A1B1CD的法向量为
n＝(x，y，z)，
则
令z＝－1得x＝1.
所以n＝(1，0，－1)，又B(1，1，0)，
所以 ＝(0，1，－1)，..cos〈n， 〉＝
所以〈n， 〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
答案：30°..类型三 二面角
【典例3】
(1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量
分别为(0，-1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　)
(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 求二面角A-
PB-C的余弦值．【解题探究】1.题(1)中的都和二面角的棱垂直的两个向量分
别为(0，-1，3)，(2，2，4)，所成的角与二面角是否相等？
2.题(2)中建立空间直角坐标系的条件有哪些？求二面角的向量
法公式是什么？
【探究提示】1.不一定相等，依据向量的方向性可能相等也可
能互补.
2.PA⊥平面ABC，AC⊥BC是建立空间直角坐标系的条件.利用
cos= .【自主解答】(1)选D.设二面角为θ，则cos θ=
所以这个二面角的余弦值为 或
(2)方法一：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B( ，1，0)，C(0，1，0)，
P(0，0，1)，
所以 ＝(0，0，1)， ＝( ，1，0)．.设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由 得
令x1＝1，则n1＝(1， ，0)．
＝(0，－1，1)， ＝( ，0，0)．..设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由 得
令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．
所以cos〈n1，n2〉＝
因为所求二面角为锐角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为...方法二：如图所示，取PB的中点D，连结CD.因为PA⊥平面
ABC，所以PA⊥AC.
所以PC＝
因为PC＝BC＝
所以CD⊥PB.作AE⊥PB于E，
那么二面角A-PB-C平面角的大小就等于 与 的夹角θ.因为PA⊥平面ABC，BC⊥AC，
所以PC⊥BC.
所以PB＝ ＝2.
所以PD＝1，PE＝
所以DE＝PD－PE＝
又因为AE＝ CD＝1，AC＝1，
且所以
即1＝ ＋1－2× ×1×cos θ，解得cos θ＝
故二面角A-PB-C的余弦值为..【方法技巧】利用向量法求二面角的两种方法
(1)若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则
两个平面的夹角的大小就是向量 与 的夹角，如图①.(2)设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图②.此方法的解题步骤如下:【变式训练】正方体ABEF-DCE′F′中， M，N分别为AC，BF的中点(如图)，求平面MNA与平面MNB所成角的余弦值.【解析】方法一：设正方体棱长为1.
以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，
则 A(1，0，0)，
B(0，0，0)．
取MN的中点G，连接BG，AG，
则因为△AMN，△BMN为等腰三角形，
所以AG⊥MN，BG⊥MN.
所以∠AGB为二面角的平面角或其补角．
因为
所以
故所求两平面所成角的余弦值为.方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．
即
令x＝1，解得y＝1，z＝1，..所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝
(1，－1，－1)．
所以 cos〈n1，n2〉＝
故所求两平面所成角的余弦值为.【补偿训练】如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．
(1)求证：PA⊥EF.
(2)求二面角D-FG-E的余弦值．【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(0，2，0)，C(-2，0，0)，P(0，0，2)，E(-1，0，1)， F(0，0，1)，G(-2，1，0).(1)证明：由于 ＝(0，2，－2)，
＝(1，0，0)，则 ＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，
所以PA⊥EF..(2)易知 ＝(0，0，1)， ＝(1，0，0)， ＝(－2，1，
－1)，
设平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，
则 解得
令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一个法向量．..设平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，
同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一个法向量．
因为cos〈m，n〉＝
设二面角D-FG-E的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m，n〉，
所以cos θ＝
所以二面角D-FG-E的余弦值为 ....【拓展类型】空间角中的探索题
【备选典例】(1)如图，在五面体ABCDEF中 ，FA⊥平面ABCD，
AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=FE= AD.
①求异面直线BF与DE所成角的余弦值.
②在线段CE上是否存在点M，使得直线AM与平面CDE所成角的
正弦值为 若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明
理由.(2)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，
∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝ EF＝2.
①求证：AE∥平面DCF；
②当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=1，
则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，F(0，0，1)，
E(0，1，1)
① =(-1，0，1)， =(0，-2，1)，
所以异面直线BF与DE所成角的余弦值为..②设平面CDE的法向量为n=(x，y，z)，
=(-1，2，0)， =(0，-2，1)，
因为
所以
令y=1，得x=z=2，所以n=(2，1，2)，..设存在点M(p，q，r)满足条件，由 得p=1-λ，q=1，
r=λ，即M(1-λ，1，λ)，所以 =(1-λ，1，λ).
因为直线AM与平面CDE所成角的正弦值为
所以 得λ=
故当点M为CE中点时，直线AM与平面CDE所成角的正弦值为.(2)建系如图，设AB＝a，BE＝b，CF＝c，则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A( ，0，a)，E( ，b，0)，
B( ，0，0)，
① ＝( ，b，0)－( ，0，a)＝
(0，b，－a)， ＝(0，0，a)， ＝(0，c，0)，
设 则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，
所以μ＝ λ＝－1，所以
又AE?平面DCF，所以AE∥平面DCF.②因为
且
所以 解得b＝3，c＝4，
所以E( ，3，0)，F(0，4，0)．.设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n· ＝0，n· ＝0，
解得n＝
又因为BA⊥平面BEFC， ＝(0，0，a)，
所以
得到a＝ 所以当AB为 时，二面角A-EF-C的大小为60°...【方法技巧】关于空间角的探索问题的处理思路
利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理.【规范解答】利用向量法求空间角
【典例】(12分)如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB.
(1)证明:BC1∥平面A1CD.
(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1:解题时若在①处不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件，从而不能正确恰当地建立空间直角坐标系，则本例最多得4分.
失分点2:解题时若在②处不能利用中点坐标公式求解点的坐标或坐标求错，则本例最多得6分.
失分点3:解题时若在③处不能利用三角函数的知识把向量的余弦值转化为二面角的正弦值，则本例最多得10分.【悟题】提措施，导方向
1.利用条件建立空间直角坐标系
充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系，特别关注隐
含条件的发现，如本例因三棱柱为直棱柱，且AC=CB= AB故可
以以点C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立坐标系.2.充分利用向量关系求点的坐标
利用向量法求空间角问题，确定直线方向向量与平面法向量是关键，而确定向量的方法是确定点的坐标，充分利用向量关系如中点坐标公式等条件可快速求出点的坐标.
3.合理转化
向量夹角与空间角转化要合理，范围要明确，三角函数名称要注意，如本例中先求出法向量夹角的余弦值，再求出正弦值.【类题试解】四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA
于点F，G，H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形，再证得此平行四边形的邻边相互垂直，注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系，求得平面EFGH的法向量，代入公式即可得解.【解析】(1)因为BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，
所以BC∥FG，BC∥EH，所以FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
又由三视图可知AD⊥平面BDC，所以AD⊥BC，
所以EF⊥FG，所以四边形EFGH是矩形.(2)如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)， =(0，0，1)， =(-2，2，0)， =(-2，0，1).设平面EFGH的法向量n=(x，y，z)，
因为EF∥AD，FG∥BC，
所以n· =0，n· =0.
得 取n=(1，1，0)，
所以sin θ=.