3.2.3 立体几何中的向量方法 课件3

课件23张PPT。3.2.3立体几何中的向量方法空间“角度”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.(化为向量问题)(进行向量运算)(回到图形)向量的有关知识：两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉两向量夹角公式：cos 〈a，b〉 =直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 二面角的平面角①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.如图(2)，设二面角 的大小为
其中AB 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为
和 ，CD的长为 ， AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角.因此所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为
和 ，CD的长为 ， AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 思考： (1)本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：∴ 可算出 AB 的长. (2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线
长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 . (3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作
A1E⊥AB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F.∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值.空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线 所成的角为 ， 则例2解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以：所以 与 所成角的余弦值为练习：在长方体 中，①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.如图(2)，设二面角 的大小为
其中AB 2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如图，向量 ，
则二面角 的大小 ＝〈 〉

2、二面角若二面角 的大小为 ， 则②法向量法例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角
的余弦值.故则可设 =1， ，则B(0，1，0)
作 于E， 于F，
则〈 〉即为二面角 的大小
在 中，
即E分有向线段 的比为由于 且 ，所以 在 中，同理可求 ∴即二面角 的余弦值为 解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0，1，0)∴由 得解得 所以，可取 即二面角 的余弦值为 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角1. 已知正方体 的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 的中点
(1) 求证： 直线 面MAC
? (2)求二面角 的余弦值
巩固练习2. 线面角2. 线面角l设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( )，则