3.2.4 立体几何中的向量方法 课件4

课件53张PPT。3.2.4
空间向量与空间距离1.空间中距离与向量的关系..2.解决立体几何问题的三种方法
(1)综合方法:是以_________作为工具解决问题.
(2)向量方法:是利用_____的概念及其运算解决问题.
(3)坐标方法:利用数及其运算来解决问题.
坐标方法经常与向量运算结合.逻辑推理向量1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所
成向量 的长度.(　　)
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点
到平面α的距离.(　　)
(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某
条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的
距离.(　　)【解析】(1)错误.平面α外一点A到平面α的距离，应该为点A到平面α的垂线段的长度，只有当AB⊥α时，结论才成立.
(2)正确.由直线与平面平行的性质可得直线上每个点到平面的距离相等，故直线到平面的距离可转化为点到平面的距离.
(3)正确.由面面平行的性质知其中一平面内的所有点到另一个平面的距离都相等.故此种说法正确.
答案:(1)×　(2)√　(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知空间两点A，B的坐标分别为(1，1，1)，(2，2，2)，则A，B两点的距离为　　　　.
(2)已知直线AB∥平面α，平面α的法向量n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为　　　　.
(3)点E(1，2，3)，F(1，1，0)分别为异面直线a，b上的两点，且向量n=(1，0，3)是同时垂直直线a，b的向量，则异面直线a，b的距离为　　　　.【解析】(1)|AB|=
答案：
(2)由于直线与平面平行，故直线AB到平面α的距离可转化为
点A到平面α的距离，又 =(1，2，0)，所以点A到平面α的
距离为d=
答案：.(3)由题意得向量 =(0，－1，－3)，又向量n=(1，0，3)
是同时垂直直线a，b的向量，故异面直线a，b的距离
答案： .【要点探究】
知识点 向量法求空间距离
1.空间距离的定义
(1)图形与图形的距离:一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离.
(2)点到平面的距离:一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离.(3)直线与其平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离.
(4)两个平行平面的距离:和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段.两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离.2.向量法求空间距离的注意点
(1)数形结合:利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形
分析，再利用向量求解.
(2)向量式的共同点:空间两几何元素(点、直线、平面)之间
的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式.
设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线
都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点A，B，则距
离d= .(3)特殊性:求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形.利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的.【知识拓展】
1.四种距离的关系2.求直线到平面的距离
设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，
过A作AC⊥α，垂足为C，则 ∥n，
因为
所以
所以直线a到平面α的距离d＝......【微思考】
几何度量中最基本的距离是什么？
提示:两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.【即时练】
已知平面α的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A(-1，3，0)在α内，
求P(-2，1，4)到α的距离.
【解析】设点P到α的距离为h，则h= .【题型示范】
类型一 点到点、点到线、线到线的距离
【典例1】
(1)如图，在60°的二面角α-AB-β内，AC?β，BD?α，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=AB=BD=1，则CD的长为　　　　.(2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，试求点M到直线AD1距离的最小值.【解题探究】1.题(1)图形中向量 如何用向量
表示？CD的长与向量 的模是什么关系？
2.题(2)中线段DC1在哪个坐标平面上，点M的坐标如何设？
【探究提示】1. CD的长与向量 的模是相
等关系.
2.线段DC1在yOz坐标平面上，点M是线段DC1上的动点，故可设
M(0，m，m).【自主解答】(1)因为
所以
＝3＋2·1·1·cos 120°＝2，
所以 即CD＝
答案： (2)设M(0，m，m)(0≤m≤a)， ＝(－a，0，a)，直线AD1的
一个单位方向向量s＝ ＝(0，－m，a－m)，
故点M到直线AD1的距离d＝
根式内的二次函数当m＝ 时取最小值 －a×
故d的最小值为【方法技巧】
1.两点间的距离(即线段的长度)
求A，B两点间的距离一般用|AB|＝ 求解.
2.向量法求点到直线距离的步骤
第一步：依据图形先求出直线的单位方向向量s，
第二步：在直线上任取一点M(注可选择特殊便于计算的点).
计算点M与直线外的点N的方向向量
第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理
计算d＝..3.异面直线间的距离
设n与异面直线a，b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线b上
任一点，则异面直线a，b的距离d＝.【变式训练】已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们
的长都为2，则AD的长为( )
A.4　　　B.2　　　C.3　　　D.
【解析】选D.　
所以　　　　　故选D...【补偿训练】直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平
面ABC，PC＝　　则点P到斜边AB的距离是　　　　. 【解析】以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴、y轴、z轴
建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，
所以　　＝(－4，3，0)，
　
所以 在AB上的投影长为
所以P到AB的距离为d＝
答案：3.类型二 点到平面的距离
【典例2】
(1)在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n=(2，-2，1)，已知点P(-1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)
A.4 B.2 C.3 D.1
(2)在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC=CD=AD=AB=1，且∠BAD=30°，求点D到平面ABC的距离.【解题探究】1.题(1)中平面AOB中的点O的坐标是多少，向量
的坐标呢？
2.题(2)中如何依据图形建立空间直角坐标系？若设平面ABC的
一个法向量为n，则如何用向量 表示点D到平面ABC的距离？【探究提示】1.O的坐标是(0，0，0)，向量 的坐标(－1，
3，2).
2.以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O
作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标
系，点D到平面ABC的距离d＝.【自主解答】(1)选B. ＝(－1，3，2)，
(2)如图所示，以AD的中点O为原点，
以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作
OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴
建立空间直角坐标系，则A( ，0，0)，
D( ，0，0)，所以.设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，
则
所以 可取n＝( ，1，3)，
代入d＝ 得d＝
即点D到平面ABC的距离是 ....【方法技巧】点到平面距离的求法
(1)垂线段法：如图，BO⊥平面α，垂足为O，
则点B到平面α的距离就是
(2)斜线段法：若AB是平面α的任一斜线段，
则在Rt△BOA中，
(3)法向量法：如果平面α的法向量为n，则..【变式训练】已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD=AD=1，则点C到平面PAB的距离d=　　　　.
【解题指南】求出平面PAB的法向量，再利用点到平面距离的向量表示式计算.【解析】以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
所以 ＝(－1，0，1)， ＝(0，1，0)， ＝(－1，1，0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
所以 即
令x＝1，则z＝1，所以n＝(1， 0，1)．
所以d＝
答案： ...【补偿训练】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为　　　　.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，
B(0，1，0)，B1(0，1，1)，
C1(0，0，1)，
则
＝(0，1，0)，
＝(0，1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y，1)，
则有
解得n＝
则d＝
答案： ...拓展类型 向量法求平面与平面间的距离
【备选例题】(1)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1
与平面BDC1的距离为(　　)
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，
E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求
平面AMN与平面EFBD间的距离.【解析】(1)选D.以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)， B1(1，0，1)，D1(0，1，1).设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则 所以
令z＝－1，则n＝(1，1，－1)，
显然n· ＝0，n· ＝0，
所以n也是平面BDC1的法向量，
所以平面AB1D1∥平面BDC1，
所以其距离为d＝...(2)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，
D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4)，
从而 ＝(2，2，0)， ＝(2，2，0)，
＝(－2，0，4)， ＝(－2，0，4)，
所以
所以EF∥MN，AM∥BF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
所以平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而 解得
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于 ＝(0，4，0)，
所以 在n上的投影为
所以两平行平面间的距离d＝....【方法技巧】求两平行平面间的距离
(1)用公式d＝ 求，n为两平行
平面的一个法向量，A，B分别为两平
面上的任意两点．
(2)直线到平面的距离、两平行平面间的距离均可转化为点到
平面的距离．点P到平面α的距离：d＝ (其中n为α的法
向量，M为α内任一点)．..【易错误区】求距离时条件应用不当致误
【典例】如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2 ，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，则点D1到平面B1EF的距离d为　　　　.【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标系，
则
D1(0，0，4)．
所以设n＝(x，y，z)是平面B1EF的法向量，则
所以
所以可取
所以D1到平面B1EF的距离d＝
答案： 【常见误区】【防范措施】
求点到平面距离的关注点
　　在求平面外一点到平面的距离时，除了利用几何法外，向量
法是比较简洁的方法，此时一般需要在平面内找一点，求其与平
面外一点构成的向量，再利用公式求解，如本例中与平面内的点
B1组成了向量 ，从而求出了点D1到平面B1EF的距离.【类题试解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)【解析】选C 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，
A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，
所以 ＝(2，2，0)， ＝(2，0，－4)， ＝(0，0，4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则
所以 即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
由 在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为...