2.3.3 双曲线方程及性质的应用 同步练习（含答案）

2.3.3
双曲线方程及性质的应用
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1　
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：由已知可知双曲线的焦点在y轴上，从而可设方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵顶点为(0，2)，∴a＝2.
又∵实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，
∴2a＋2b＝2c.
又∵a2＋b2＝c2，∴解得b2＝4.
∴所求方程为－＝1.
答案：B
2．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．7
B．6
C．5
D．3
解析：由方程可得渐近线为y＝±x，∴＝.
∴a＝2.又∵|PF1|＝3小于两顶点间的距离4，
∴点P只能在双曲线的左支上．
∴由|PF2|－|PF1|＝2a，得|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋4＝7.
答案：A
3．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，整理得3x±ay＝0，故a＝2，选C.
答案：C
图1
4．如图1所示，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为(　　)
A．1
B．2
C.
D．2
解析：如题图，设AB＝2c，
由于∠CAB＝∠CBA＝30°，
则AE＝BD＝c，BE＝AD＝c.
则椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
故两个离心率的倒数和为.
答案：C
5．直线y＝k(x＋)与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则k的不同取值有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，顶点(±2，0)，而直线恒过(－，0)，故有两条与渐近线成平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点，故选D.
答案：D
6．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞)
B．(1，)
C．(1，1＋)
D．(，＋∞)
图2
解析：如图2所示．由于∠F1AB＝∠F1B
A，△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角．故只需要∠AF1F2<45°即可
即<1，∴＝<1即c2－a2<2ac.
即e2－2e－1<0，解得1－1，故1答案：C
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
解析：由双曲线的几何性质，易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为±4.故圆心坐标为(4，±)或(－4，±)．易求得它到双曲线中心的距离为.
答案：
8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
图3
解析：如图3，双曲线渐近线方程为
y＝x，F(5，0)，
∴直线过F且斜率为，
∴方程是y＝(x－5)，
由得
－＝1，
即10x＝34，x＝，y＝－，
而|AF|＝c－a＝5－3＝2，
∴S△AFB＝·|AF|·|y|＝×2×＝.
答案：
9．双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________．
解析：由题意知中点坐标为(－，－)，
设双曲线方程为－＝1.
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则－＝1　①，
－＝1　②，①－②得＝，即＝·，
所以＝，解得a2＝2，
故双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题(共40分)
10．(10分)双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点(3，
－2)．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|.
解：(1)∵双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)
又∵双曲线经过点(3，－2)，代入方程可得λ＝6，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－3)，
联立，
得x2－18x＋33＝0，由韦达定理得x1＋x2＝18，x1x2＝33，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝2＝16，即弦长|AB|＝16.
11．(15分)过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝
|BC|，求双曲线M的离心率．
解：由双曲线M为x2－＝1，
∴左顶点A的坐标为(－1，0)，
两条渐近线为y＝±bx.
又∵直线l的斜率为1，
∴l的方程为y＝x＋1.
从而可求得直线l
：y＝x＋1与渐近线y＝bx的交点为C(，)，
AC的中点为(，)，
且在渐近线y＝－bx上，
则＝－b·，得b＝3，
c＝＝，e＝＝.
∴双曲线的离心率为.
12．(15分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得，
(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
解得k的取值范围是－2(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得
②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c，0)．
则由FA⊥FB得
(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得
(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得
5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝(舍去)．
可知k＝－时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.