2.4.1 抛物线及其标准方程 同步练习（含答案）

2.4.1
抛物线及其标准方程
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为(0，1)　B．开口向上，焦点为(0，)
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为(0，)
解析：由y＝4x2得x2＝y，
∴开口向上，焦点坐标为(0，)．
答案：B
2．焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝2x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x
D．y2＝4x
解析：由焦点在x＝1上，故焦点坐标为(1，0)，∴抛物线开口向右且＝1，∴p＝2，∴方程为y2＝2px＝4x.
答案：D
3．若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则a的值为(　　)
A．－4
B．2
C．－8
D．4
解析：由椭圆可知左焦点坐标为(－2，0)，
∴抛物线开口向左且＝2，∴p＝4，故方程为y2＝－8x，
∴a＝－8.
答案：C
4．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为(　　)
A．(，±)
B．(，±)
C．(，±)
D．(，±)
解析：设P(x，y)，则点P到焦点距离为2，∴点P到准线x＝－的距离也是2，即x＋＝2，∴x＝，∴y＝±.故选B.
答案：B
5．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是(　　)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线一支
D．抛物线
图1
解析：如图1，以直线l为y轴，以过点A且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设动圆的圆心为P，则|PA|＝|PB|.
即动点P到定点A和到定直线l的距离相等，依定义可知，动圆圆心的轨迹为抛物线．
答案：D
6．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)
A．x2＝2y－1
B．x2＝2y－
C．x2＝y－
D．x2＝2y－2
解析：由y＝x2得x2＝4y，∴F(0，1)．设PF中点M(x，y)，P(x0，y0)则即.又(x0，y0)在x2＝4y上，故4x2＝4(2y－1)得x2＝2y－1.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．过(2，4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________．
解析：由已知可设抛物线方程为x2＝my代入点(2，4)得4＝4m，∴m＝1故方程为x2＝y.
答案：x2＝y
8．已知抛物线y＝x2，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A、B两点，则坐标原点与A、B两点构成的三角形的面积为________．
解析：由抛物线的方程可得：x2＝4y，∴焦点坐标F(0，1)，将y＝1代入方程可得：x＝±2.∴|AB|＝4，
∴S△OAB＝·|OF|·|AB|＝×1×4＝2.
答案：2
9．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
解析：由y2＝4x得F(1，0)，准线方程为x＝－1，又＋＋＝0，可知F是△ABC的重心，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3.
又∵抛物线定义可得
||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1
∴||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝3＋3＝6.
答案：6
三、解答题(共40分)
10．(10分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线垂直于x轴，又抛物线与双曲线交于点P(，)，求抛物线和双曲线的方程．
图2
解：∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，∴可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．
∵点P(，)在抛物线上，∴()2＝2p×，p＝2，
∴y2＝4x.
∵y2＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，
∴－c＝－1，c＝1，即有a2＋b2＝1，　①
又∵点P(，)在双曲线上，∴－＝1.　②
联立①②，解得a2＝，b2＝，双曲线方程为4x2－y2＝1.
故所求的抛物线与双曲线方程分别为y2＝4x和4x2－y2＝1.
11．(15分)抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，求此抛物线方程．
解：设△A
OB为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y＝2x，则OB边的方程是y＝－x.
由可得点A坐标为(，p)．
由可得点B坐标为(8p，－4p)．
∵|AB|＝5，
∴＝5.
∵p>0，解得p＝，
∴所求的抛物线方程为y2＝x.
12．(15分)已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0，1)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设圆M过点A(0，2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1，0)、G(x2，0)，求线段EG的长度．
图3
解：(1)依题意知，曲线C是以F(0，1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线．
∵焦点到准线的距离p＝2，
∴曲线C方程是x2＝4y.
(2)∵圆M的半径为
∴其方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2
令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.
则x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.
又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，
∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.
∴线段EG的长度是4.