2.4.2 抛物线的简单几何性质 同步练习（含答案）

2.4.2
抛物线的简单几何性质
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝±3y　　B．y2＝±6x
C．x2＝±12y
D．y2＝±6y
解析：对称轴为y轴可设抛物线方程为x2＝my(m≠0)，
又∵||＝3，∴m＝±12.
∴抛物线方程为x2＝±12y.
答案：C
2．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　)
A.
B．p
C．2p
D．无法确定
解析：由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，为2p.
答案：C
3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1，0)
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
答案：C
4．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于(　　)
A．2
B.
C．2
D.
解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1.
又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝2.
答案：C
5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
解析：由得x2－5x＋4＝0，
∴x＝1或x＝4.不妨设A(4，4)，B(1，－2)，则||＝5，||＝2，·=(3，4)·(0，-2)=-8，
∴cos∠AFB=＝＝－.故选D.
答案：D
6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，①
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，
∵|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2，②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝，选D.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：直线y＝x－，故
∴x2－3px＋＝0，
|AB|＝8＝x1＋x2＋p，∴4p＝8，p＝2.
答案：2
8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析：设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝k.又∵P(2，2)为AB的中点，
∴＝2.∴k＝4.∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
9．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于________．
解析：由|BF|＝2小于点M到准线的距离(＋)知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为，代入得
y2＝2x，则B(，－)(另一种可能是(，))，那么此时直线AC的方程为＝，即y＝，把y＝代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，
则有y＝2，即A(2，2)，那么S△BCF∶S△ACF＝BC∶AC＝(＋)∶(2＋)＝4∶5.
答案：4∶5
三、解答题(共40分)
10．(10分)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
解：∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，
∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，∴＝6，解得k＝±1.
∴所求直线l的方程为y＋x－1＝0或x－y－1＝0.
11．(15分)
图1
如图1所示，O为坐标原点，过点P(2，0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)写出直线l的方程；
(2)求x1x2与y1y2的值；
(3)求证：OM⊥ON.
解：(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①
(2)由①及y2＝2x，消去y可得
k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②
点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，
由韦达定理，得x1x2＝＝4.
由y＝2x1，y＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16，
由图可知y1y2<0，所以y1y2＝－4.
(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，
则k1＝，k2＝.
由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，
∴k1k2＝＝－1.∴OM⊥ON.
12．(15分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0
？
若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得：曲线C上的点到点F(1，0)与到x＝－1的距离相等，∴曲线C是以F(1，0)为焦点的抛物线，
设y2＝2px(p>0)，
∵＝1，∴p＝2，∴方程为：y2＝4x(x>0)．
(2)假设存在M(m，0)(m>0)．
当直线l斜率不存在时，l：x＝m，
设交点A(m，2)，B(m，－2)，
＝(m－1，2)，＝(m－1，－2)，
∴·＝m2－6m＋1<0，
∴3－2当直线l斜率存在时，l：y＝k(x－m)(k≠0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴ky2－4y－4km＝0，∴Δ＝16＋16k2m>0恒成立，
y1＋y2＝，y1y2＝－4m，
又y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋8m，
∵·＝(－1)·(－1)＋y1y2
＝－(y＋y)＋y1y2＋12
＝m2－(＋8m)－4m＋12
＝m2－6m＋1－<0，
即：>m2－6m＋1对 k≠0恒成立，
又>0，∴m2－6m＋1<0恒成立，
∴3－2综上，m的取值范围是：3－2