3.1.3 空间向量的数量积运算 同步练习1（含答案）

3.1.3
空间向量的数量积运算
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设a、b为空间的非零向量，下列各式：①a2＝|a|2；②＝；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的个数为(　　)
A．1　B．2
C．3
D．4
解析：由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.
答案：B
2．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　)
A．－6
B．6
C．3
D．－3
解析：由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.
答案：B
3．设ABCD－A′B′C′D′是棱长为a的正方体，AC′和BD′相交于点O，则有
(　　)
A.·＝2a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
解析：由·＝·＝
(＋＋)·＝a2.
答案：C
4．已知空间四边形ABCD各条边的长度相等，E是BC边的中点，那么(　　)
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
答案：A
5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋＝>0，
∴cos∠DBC>0，∠DBC为锐角，同理∠BDC，∠BCD为锐角．∴△BCD为锐角三角形．
答案：B
6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：设〈，〉＝θ，
·＝(＋＋)·＝||2＝1，
∴cosθ＝＝，
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
答案：－13
8．若·＝·，则________.
解析：·＝·，则·(－)＝·＝0.∴⊥.
答案：⊥
9．已知||＝5，||＝2，〈，〉＝60°，＝2＋，＝－2，则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为__________．
解析：∵＝＋，
∴2＝(＋)2＝(2＋＋－2)2
＝(3－)2
＝92＋2－6·
＝9×25＋4－6×5×2×cos60°＝199.
∴OE＝.
答案：
三、解答题(共40分)
图1
10．(10分)已知空间四边形ABCD，求·＋·＋·的值．
解：·＋·＋·
＝·(－)＋(－)·－·(－)
＝·－·＋·－·－·＋·＝0.
11．(15分)BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形， ABB1A1、 BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．
图2
解：如图2所示．
∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，
·＝0，·＝－a2.
∴·＝－a2.
又·＝||·||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴〈，〉＝120°，
∴异面直线BA1与AC成60°角．
图3
12．(15分)如图3所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，求证：P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．
证明：∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，
∴·＝0，·＝0，·＝0，⊥平面PBC.
∴·＝0.
由题意可知，PH⊥面ABC，
∴·＝0，·＝0，·＝0.
∴·＝(－)·＝·－·＝0.
∴AH⊥BC.同理可证BH⊥AC，CH⊥AB.
∴H为△ABC的垂心．