3.1.3 空间向量的数量积运算 同步练习2（含答案）

3.1.3
空间向量的数量积运算
同步练习
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是
(　　)．
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．
答案　B
2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
(　　)．
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
解析　2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；
2·＝－a2，故D错，只有C正确．
答案　C
3．空间四边形OABC中，
OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为
(　　)．
A.
B.
C．－
D．0
解析　因为·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－
||||cos〈，〉，
又因为〈，〉＝〈，〉＝，
||＝||，所以·＝0，
所以⊥，所以cos〈，〉＝0.
答案　D
4．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________．
解析　将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得
cos〈a，b〉＝.
答案　
5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
答案　－13
6．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：
(1)·；(2)·
解　如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·
(＋)＝b·[(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
7．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为
(　　)．
A.
B．2
C.
D.
解析：∵＝＋＋
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1
＋1＋2(cos
60°＋cos
60°＋cos
60°)＝6，∴||＝.
答案：D
8．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是
(　　)．
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析　∵·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴a与b的夹角为60°.
答案　C
9．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．
解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3×
4cos
135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.
答案　－
10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．
解析　不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝＝＝
0，故填90°.
答案　90°
11．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求证：BD⊥平面ADC.
证明　不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
·＝(－)·＝·－·，
由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos
60°＝××＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC.
12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
(1)证明　＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解　结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝)2＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.