3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 学案（无答案）

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3.1.4
空间向量的正交分解及其坐标表示
学案
学习目标
1.
掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2.
掌握空间向量的坐标运算的规律；
学习重难点
重点：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
难点：掌握空间向量的坐标运算的规律；
学习过程
一、课前准备
(预习教材P92-96找出疑惑之处)
复习1：平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量，是平面上两个_________向量，总是存在______实数对，使得向量可以用来表示，表达式为______________，其中叫做___________.21世纪教育网版权所有
若，则称向量正交分解.
复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的__________向量.
作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，则称有序对
为向量的________________，即＝_________________.
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：空间向量的正交分解
问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？www.21-cn-jy.com
新知：
⑴
空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使.
如果两两_______，这种分解就是空间向量的正交分解.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)空间向量基本定理：如果三个向量________，对空间任一向量，存在有序实数组，使得.
把__________的一个基底，都叫做基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有____________个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相_____________，长度都为__________，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示.www-2-1-cnjy-com
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为
x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着_________________.2-1-c-n-j-y
⑸设A，B，
则＝_________________________.
⑹向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝；
⑵a－b＝；
⑶λa＝；
⑷a·b＝.
试试：
1.
设，则向量的坐标为______.
2.
若A，B，则＝_____________.
3.
已知a＝，b＝，
求a＋b，a－b，
8a，a·b
※
典型例题
例1
已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量
构成空间的另一个基底？21教育网
变式：已知O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？
小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.
例2
如图，M，N分别是四面体QABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用表示和.21cnjy.com
变式：已知平行六面体，点G
是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:
⑴
⑵
.
三、总结提升
※
学习小结
1.
空间向量的正交分解及空间向量基本定理；
2.
空间向量坐标表示及其运算
※
知识拓展
建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.
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学习评价
※
当堂检测(时量：5分钟
满分：10分)计分：
1.
若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.
设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是__________.2·1·c·n·j·y
3.
在三棱锥OABC中，G是的重心(三条中线的交点)，选取为基底，试用基底表示＝______________.
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4.
正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是___________.
5.
已知关于x的方程有两个实根，，且，当t＝____时，的模取得最大值.
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