3.1.5 空间向量运算的坐标表示 学案（无答案）

3.1.5
空间向量运算的坐标表示
学案
学习目标
1.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2.会用这些公式解决有关问题.
学习重难点
重点：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
难点：会用这些公式解决有关问题.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P95~
P97，找出疑惑之处)
复习1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段︱AB︱＝__________.
复习2：已知，求：
⑴a＋B.
⑵3a－b；
⑶6A.
；
⑷a·b.
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式
问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？
新知：
1.
向量的模：设a＝，则｜a｜＝________
2.
两个向量的夹角公式：
设a＝，b＝，
由向量数量积定义：
a·b＝|a||b|cos＜a，b＞，
又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝___________，由此可以得出：cos＜a，b＞＝___________
试试：
当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是_________；
当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是________；
当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是_________，
即a与b的位置关系是________，用符合表示为_________.
反思：
设a＝，b＝，则
a//B.
a与b所成角是__________
a与b的坐标关系为_______________；
a⊥ba与b的坐标关系为____________；
3.两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为：
.
4.
线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标为:________________________.
※
典型例题
例1.
如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．
变式：如上图，在正方体中，，求与所成角的余弦值．
[
例2.
如图，正方体中，点E，F分别是的中点，求证：.
变式：如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值.
小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.
三、总结提升
※
学习小结
1.
空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2.
解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.
※
知识拓展
在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.
学习评价
※
当堂检测(时量：5分钟
满分：10分)计分：
1.
若a＝，b＝，则是的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不不要条件
2.
已知，且，则x＝________.
3.
已知，与的夹角为120°，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.
若，且的夹角为钝角，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5.
已知
，
且，则(
)
A.
B.
C.
D.
3.1.5
空间向量及其运算
学案
学习目标
1.
熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
2.
熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.
学习重难点
重点：熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
难点：熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.
学习过程
一、课前准备：(阅读课本p115)
复习：
1.
具有_____和_____的量叫向量，________叫向量的模；______________叫零向量，记着
________；_____________________具有______________________
叫单位向量.
2.
向量的加法和减法的运算法则有_____________法则____________和__________
法则.
3.实数λ与向量a的积是一个
量，记作________，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝____________.
(2)当λ＞0时，λa与A___________；
当λ＜0时，λa与A_____________；
当λ＝0时，λa＝__________.
4.
向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a＋b＝___________结合律：(a＋b)＋c＝______________.
数乘分配律：λ(a＋b)＝____________.
5.①
表示空间向量的___________所在的直线互相_______或_______，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
②空间向量共线定理：
对空间任意两个向量()，
的充要条件是存在唯一实数，
使得________；
③
推论：
l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是_________________.
6.
空间向量共面：
①共面向量：___________________同一平面的向量.
②定理：
对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在______________，使得______________________________.
③推论：
空间一点P与不在同一直线上的三点A，B，C共面的充要条件是：
⑵
存在_______________________，使__________________.
⑵
对空间任意一点O，有___________________.
7.
向量的数量积：_______________.
8.
单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相
，长度都为
，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示.
9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为
x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着__________________.
10.
设A，B，则＝__________________________.
11.
向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
(1)a＋b＝____________；
⑵a－b＝_______________；
⑶λa＝_______________；
⑷a·b＝_________________.
※
动手试试
1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为(
)
A．0
B.
1
C.
2
D.
3
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是(
)
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，
c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ=(
)
A.
B.
C.
D.
4．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
5．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
6.
则(
)
A．－15
B．－5
C．－3
D．－1
※
典型例题
例1
如图，空间四边形OABC中，，
，点M在OA上，且OM=2MA，点为的中点，则
.
变式：如图，平行六面体中，，，点分别是的中点，点Q在上，且，用基底表示下列向量：
⑴
；
⑵
；
⑶
；
⑷
.
例2
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，点是的中点，求证：.
变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得
学习评价
※
当堂检测(时量：5分钟
满分：10分)计分：
1．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，，
则(
)
A.
B.
C.
D.
2.、(
)
A．
B．
与不平行也不垂直
C.
，
D．以上情况都可能.
3.
已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
4.已知且与互相垂直，则的值是(
)
A.
.1
B.
C.
D.
5.
若A(m＋1，n－1，3)，
B.
(2m，n，m－2n)，
C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m+n=