3.2 立体几何中的向量方法 教案

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3.2
立体几何中的向量方法空间距离
教案
教学目标
利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
教学重点与难点
利用向量方法求解空间距离问题.
教学过程[
例1如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．2·1·c·n·j·y
分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．
解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0，0，0)，A(4，4，0)，B(0，4，0)，D(4，0，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)．21·世纪
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∴　，，
　　　　
，，
．
设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，www.21-cn-jy.com
∴　＝(2a+4b，－2b－4c，2c)．
由平面EFG，得，，于是
　　，．
∴　
整理得：，解得．
∴　＝(2a+4b，－2b－4c，2c)＝．
∴　
故点B到平面EFG的距离为．
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．
分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．
解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有
，，，．
∴　，，．
设n是直线l方向上的单位向量，则．
∵　n，
n，
∴　，解得或．
取n，则向量在直线l上的投影为
　　　n··．
由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为．
向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题(见[1]，p53)要求证明如下的公式：21教育网
(1)
其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内.，，
.为二面角P-MN-Q(见图1).
图1
公式(1)可以利用向量的内积来加以证明：
以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系.
记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则，得【来源：21·世纪·教育·网】
，，.
分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量，，则.
由计算知，的坐标分别为
，，
于是，
.
公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的.我们来介绍如下的两个应用.
例1．立方体ABCD-A 1B 1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点.
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求面EFG和面GHI的夹角的大小(用反三角函数表示).
解
由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位.这样就使平面EFG平移至平面.而就是二面角G-IH-(见图3).利用公式(1)，只要知道了，和的大小，我们就能求出.
图2
由已知条件，和均为等边三角形，所以，而.因此，
图3
，
即
.
解得
，
.
当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来.21世纪教育网版权所有
例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小.
解
我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕.设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线(如图4)，则公式(1)中的，，分别为：21cnjy.com
，
，
，
因此它们均为正五边形的内角.所以
.
图4
所以，由公式(1)知
，
或
.
因此，，或.
如果不使用公式(1)，要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多.
利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V.
设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点.设该正五棱锥为，从而可知：
.
再设的底面积为S、高为h，设为单位边长正五边形(即的底)的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，，则21·cn·jy·com
，
，
.
仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则.所以
.
但是，
，
从而
，
或
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