3.2.1 空间向量与平行关系 同步练习1（含答案）

3.2.1
空间向量与平行关系
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　)
A．l1∥l2　　　　　　　B．l1⊥l2
C．l1、l2相交但不垂直
D．不能确定
解析：a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴a⊥b.∴l1⊥l2.
答案：B
2．已知平面α的一个法向量是n＝(1，1，1)，A(2，3，1)，B(1，3，2)，则直线AB与平面α的关系是(　　)
A．AB∥α
B．AB⊥α
C．AB α
D．AB∥α或AB α
解析：由已知＝(－1，0，1)，·n＝－1×1＋1×0＋1×1＝0.
∴⊥n.∴AB∥α或AB α.
答案：D
3．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－
B．6
C．－6
D.
解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴＝＝.∴λ＝6.
答案：B
4．已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为(　　)
A．(1，－1，1)
B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)
D．(－1，1，－1)
解析：显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则
∴令z＝1，得x＝－2，y＝1，
∴n＝(－2，1，1)．
答案：C
5．若空间中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的关系为(　　)
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
解析：＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，
∴＝－2.∴∥.∴AB∥CD.
答案：A
图1
6．如图1，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确的个数为(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P.∴①③④正确．
答案：C
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为(1，，2)，且l∥α，则m＝________.
解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m，1)·(1，，2)＝2＋m＋2＝0.
解得m＝－8.
答案：－8
8．若直线l的一个方向向量为a＝(1，1，1)，向量m＝(1，－1，0)及向量n＝(0，1，－1)都与平面α平行，则l与α的关系为________．
解析：a·m＝1×1＋1×(－1)＋1×0＝0，
∴a⊥m.
a·n＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，∴a⊥n.
显然m与n不平行，∴l⊥α.
答案：l⊥α
9．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.
解析：由已知平面α的法向量为u＝(1，3，z)．
而又∵v与面α平行，∴u·v＝1×3＋3×(－2)＋z×1＝0.
解得z＝3.
答案：3
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知向量a＝(1，3，5)，b＝(2，4，6)，是否存在向量n，使得n与x轴垂直，且满足n·a＝12，n·b＝14？
解：设存在n＝(x，y，z)满足条件，x轴的一个方向向量为(1，0，0)，由题意得
解得
故所求向量为n＝(0，－1，3)．
11．(15分)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.
证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，2a，0)，C(0，2a，0)，D1(0，0，a)，E(a，2a，0)，
图2
∵M、N分别为AE、CD1的中点，
∴M(a，a，0)，N(0，a，)．
∴＝(－a，0，)．取n＝(0，1，0)，显然n⊥平面A1D1DA，且·n＝0，
∴⊥n.又MN 平面ADD1A1.
∴MN∥平面ADD1A1.
图3
12．(15分)如图3，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由．
解：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．
图4
设E(0，y，z)，
则＝(0，y，z－1)，
＝(0，2，－1)．
∵∥，
∴y(－1)－2(z－1)＝0.①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
若CE∥面PAB，则·＝0，而＝(－1，y－1，z)，
∴0×(－1)＋2(y－1)＋0×z＝0.②
由①②解得∴E的坐标为(0，
1，)，
即存在点E为PD的中点时，使CE∥面PAB.