3.2.1 空间向量与平行关系 同步练习2（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 空间向量与平行关系 同步练习2（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 221.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-15 07:47:31 | ||
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文档简介
3.2.1
空间向量与平行关系
同步练习
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
( )．
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
答案 A
2．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．
A．(0，－3，1)
B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1)
D．(－2，3，－1)
答案 D
3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是
( )．
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
解析 ∵a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，∴a∥b，∴α∥β.
答案 A
4．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．
解析 ∵l∥α，∴l的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y，2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y＝.
答案
5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝______．
解析 由α∥β得＝＝，解得k＝4.
答案 4
6．如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3，0，
0)，B(0，
4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，
B1(0，
4，2)，E(3，4，0)
∵AP＝2PA1，
∴＝2＝，即＝(0，0，2)＝(0，0，)，
∴P点坐标为(3，0，)．
同理可得Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，)．
∴＝(－3，2，)＝，∴∥，
又∵R PQ，∴PQ∥RS.
7．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平
( )．
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
解析 因为＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB∥平面yOz.
答案 C
8．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中在平面α内的是
( )．
A．(1，－1，1)
B．(1，3，)
C．(1，－3，)
D．(－1，3，－)
解析 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即
·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1，0，1)，则·n
＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，－4，)·(3，1，2)＝0，故B正确；同理可排除C，
D.故选B.
答案 B
9．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝(k，k＋3，)，若a∥b，则k＝______．
解析 ①当k＝0时，a与b不平行．
②当k≠0时，由＝＝解得k＝－2.
答案 －2
10．若A(0，2，)，B(1，－1，)，C(－2，1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
解析 ＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)，
由得解得
则x∶y∶z＝y∶y∶
(－y)＝2∶3∶(－4)．
答案 2∶3∶(－4)
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0，1，)，N(，1，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是＝(，0，)，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN 平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
法二 ∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥，而MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
12．(创新拓展)如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1的底面中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上，问：当点Q在CC1的什么位置时，平面BD1Q∥平面APO？
解 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则O(1，1，0)，P(0，0，1)，A(2，0，
0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，
设Q(0，2，z)(0≤z≤2)，
那么＝(－1，－1，1)，
＝(－2，－2，2)，
∴∥，又B OP，∴OP∥BD1.
又＝(－2，0，1)，＝(－2，0，z)，
显然当z＝1时，∥，由于B AP，
∴AP∥BQ，此时平面AOP∥平面D1BQ.
∴当Q为CC1的中点时，平面AOP∥平面D1BQ.
空间向量与平行关系
同步练习
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
( )．
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
答案 A
2．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．
A．(0，－3，1)
B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1)
D．(－2，3，－1)
答案 D
3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是
( )．
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
解析 ∵a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，∴a∥b，∴α∥β.
答案 A
4．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．
解析 ∵l∥α，∴l的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y，2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y＝.
答案
5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝______．
解析 由α∥β得＝＝，解得k＝4.
答案 4
6．如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3，0，
0)，B(0，
4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，
B1(0，
4，2)，E(3，4，0)
∵AP＝2PA1，
∴＝2＝，即＝(0，0，2)＝(0，0，)，
∴P点坐标为(3，0，)．
同理可得Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，)．
∴＝(－3，2，)＝，∴∥，
又∵R PQ，∴PQ∥RS.
7．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平
( )．
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
解析 因为＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB∥平面yOz.
答案 C
8．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中在平面α内的是
( )．
A．(1，－1，1)
B．(1，3，)
C．(1，－3，)
D．(－1，3，－)
解析 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即
·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1，0，1)，则·n
＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，－4，)·(3，1，2)＝0，故B正确；同理可排除C，
D.故选B.
答案 B
9．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝(k，k＋3，)，若a∥b，则k＝______．
解析 ①当k＝0时，a与b不平行．
②当k≠0时，由＝＝解得k＝－2.
答案 －2
10．若A(0，2，)，B(1，－1，)，C(－2，1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
解析 ＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)，
由得解得
则x∶y∶z＝y∶y∶
(－y)＝2∶3∶(－4)．
答案 2∶3∶(－4)
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0，1，)，N(，1，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是＝(，0，)，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN 平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
法二 ∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥，而MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
12．(创新拓展)如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1的底面中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上，问：当点Q在CC1的什么位置时，平面BD1Q∥平面APO？
解 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则O(1，1，0)，P(0，0，1)，A(2，0，
0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，
设Q(0，2，z)(0≤z≤2)，
那么＝(－1，－1，1)，
＝(－2，－2，2)，
∴∥，又B OP，∴OP∥BD1.
又＝(－2，0，1)，＝(－2，0，z)，
显然当z＝1时，∥，由于B AP，
∴AP∥BQ，此时平面AOP∥平面D1BQ.
∴当Q为CC1的中点时，平面AOP∥平面D1BQ.