3.2.2 空间向量与垂直关系 同步练习1（含答案）

3.2.2
空间向量与垂直关系
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．若向量m同时垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则(　　)
A．m∥n　　　　　　　　　
B．m⊥n
C．m与n既不平行也不垂直
D．以上三种情况均有可能
解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.
答案：B
2．已知平面α内的三点A(0，0，1)、B(0，1，
0)、C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　)
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交不垂直
D．以上都不对
解析：＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，n·＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
n·＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，
∴n⊥，n⊥.∴n也为α的一个法向量．
又α与β不重合，∴α∥β.
答案：A
3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　)
A.·＝0
B.·＝0
C.·＝0
D.·＝0
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．故选C.
答案：C
4．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：若c·a＝0且c·b＝0 /
l⊥α，原因是a可能与b共线，而l⊥α则一定有c·a＝0且c·b＝0成立．故选B.
答案：B
5．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于(　　)
A．(，－，4)
B．(，－，－3)
C．(，－，4)
D．(，，－3)
解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，
∴
解得.
答案：B
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
图1
解析：建立如图1坐标系，设正方体棱长为1，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，
C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E(，，1)．
∴＝(，，1)－(0，1，0)＝(，－，1)．
＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，
＝(－1，0，－1)，＝(0，0，－1)．
∵·＝(，－，1)·(－1，－1，0)
＝－＋＋0＝0.
∴⊥，∴CE⊥BD.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于________．
解析：∵＝(－2，－6，－2)，＝(－1，6，λ－3)，·＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.
答案：－14
8．已知A，B，C的坐标为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为________．
解析：利用向量垂直的条件．
答案：
9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析：由·＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB；
由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，
由①②知是平面ABCD的法向量，
易知不平行，
所以①②③正确．
答案：①②③
三、解答题(共40分)
10．(10分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE.
图2
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度．以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，
D1(0，0，1)，E(1，1，)，F(0，，0)，
所以＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)，＝(0，1，)．
所以·＝0，·＝0＋－＝0.
所以⊥且⊥，
即D1F⊥AD，D1F⊥AE.
又AE∩AD＝A，
所以D1F⊥平面ADE.
图3
11．(15分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图4
证明：以C为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M(，，1)．
所以＝(－，－，1)，＝(0，，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，
n⊥，
所以
取y＝1，
得x＝1，z＝－.
则n＝(1，1，－)．
因为＝(－，－，1)，
所以n＝－，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
图5
12．(15分)如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．
(1)证明平面AD1F⊥平面ADE.
(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，F(0，，0)，E(1，1，)，＝(－1，0，
1)，＝(－1，，0)，＝(－1，0，0)，＝(0，1，)．设n1，n2分别为平面AD1F，平面ADE的法向量．令n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
图6
∴·n1＝(－1，0，1)·(x1，y1，z1)＝－x1＋z1＝0，
·n1＝(－1，，0)·(x1，y1，z1)＝－x1＋y1＝0，
令x1＝1，∴n1＝(1，2，1)．
又·n2
＝(－1，0，0)·(x2，y2，z2)
＝－x2＝0，·n2
＝(0，1，)·(x2，y2，z2)＝y2＋z2＝0，令y2＝1，
∴n2＝(0，1，－2)．∵n1·n2＝(1，2，1)·(0，1，－2)
＝1×0＋2×1＋1×(－2)＝0，∴平面AD1F⊥平面ADE.
(2)由于点M在AE上，
∴可设＝λ＝λ(0，1，)＝(0，λ，λ)
可得M(1，λ，λ)，又∵A1(1，0，1)，于是＝(0，λ，λ－1)
要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，
∴·＝(0，λ，λ－1)·(0，1，)＝λ－＝0，
得λ＝.
故当AM＝AE时，即点M的坐标为(1，，)时，A1M⊥平面DAE.