3.2.2 空间向量与垂直关系 同步练习2（含答案）

3.2.2
空间向量与垂直关系
同步练习
1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则
(　　)．
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．l与α斜交
解析　∴u＝－2a，∴a∥u，∴l⊥α.
答案　B
2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是
(　　)．
A．0
B．1
C．－2
D．2
解析　λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)
∵(λa＋b)⊥a
∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.答案　C
3．若平面α、β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为
(　　)．
A．10
B．－10
C.
D．－
答案　B
4．若l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为(1，，2)，且l⊥α，则m＝________．
解析　由l⊥α得，＝＝，即m＝4.
答案　4
5．设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．
解析　∵·n＝0，∴⊥n，或＝0，∴M点在过A且与n垂直的平面上．
答案　过A且以n为法向量的平面
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC.
证明　如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则
A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，
B1(2，2，2)，O(1，1，0)．
于是＝(1，1，2)，
＝(－2，2，0)，
＝(－2，0，1)，
由于·＝－2＋2＋0＝0
及·＝－2＋0＋2＝0.
∴⊥，⊥，
∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
又AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面PAC.
综合提高(限时25分钟)
7．两平面α、β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是
(　　)．
A．－3
B．6
C．－6
D．－12
解析　α⊥β u·v＝0 －6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
答案　B
8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于
(　　)．
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱
长为1.则
A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，
A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E(，，1)，
∴＝(－，，1)，
＝(1，－
1，0)，＝(－1，－1，0)，
＝(0，－1，－1)，＝(0，0，－1)
∵·＝(－1)×
(－)＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD
答案　B
9．向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α是否垂直？______(填“是”或“否”)．
解析　m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4)
＝－2＋6－4＝0，
m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0.
∴l与α不垂直．
答案　否
10．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
解析　因为＝(－1，－1，1)，＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，
由·＝0，·＝0，得
则x＝，z＝－，
所以P(，0，－)．
答案　(，0，－)
11．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明　法一　如图，建立空间直角坐标系．则
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，
1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1，1，0)，
∴＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，0，)，
∵·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴⊥，⊥，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1，
而BC 平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
法二　同法一，得
＝(0，0，)，＝(1，1，0)，
＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1，0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
∴n2＝(1，1，)．
∴n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
12．(创新拓展)如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：a＝；a＝1；a＝2；a＝；a＝4.
若在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取所给数据
中的哪些值？并说明理由．
解　建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)．
设Q(a，x，0)(BQ＝x，0≤x≤2)，
于是＝(a，x，－2)，＝(－a，2－x，0)．
由PQ⊥QD得
·＝－a2＋x(2－x)－2×0＝0，
即x2－2x＋a2＝0，此方程有解，Δ≥0，
∴0当a＝时，方程的解为x＝或x＝，满足0≤x≤2.
当a＝1时，方程的解为x＝1，满足0≤x≤2.
因此满足条件的a的取值为a＝或a＝1.