3.2.3 空间向量与空间角 同步练习1（含答案）

3.2.3
空间向量与空间角
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A.　　
B.
C.
D.
图1
解析：如图1所示，直线l与平面α所成的角θ＝－＝.
答案：C
2．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　)
A.
B.
C.或
D.或
图2
解析：如图2所示，当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.
答案：C
3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
图3
解析：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图3，设AB＝a，则AD＝a，AA1＝2a.
B(a，a，0)，C(0，a，0)，D1(0，0，2a)，E(a，0，a)，＝(0，－a，a)，＝(0，－a，2a)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：C
4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
图4
解析：设BC的中点为O，连接AO，A1O，则由题意知
A1O⊥平面ABC，
AO⊥BC，以AO，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为2a，则OA1＝＝＝a，
则A(－a，0，0)，B(0，－a，
0)，A1(0，0，a)．
所以cos〈，〉＝cos〈，〉＝
＝
＝＝.
答案：D
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
图5
解析：建系如图5，设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1，1，1)．
＝(0，1，0)，＝(0，，
－1)，＝(－1，，0)．设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，即.
令y＝2，则.
∴n＝(1，2，1)，cos〈n，〉＝＝.
设A1B1与平面A1EF的夹角为θ，
则sinθ＝cos〈n，〉＝，即所求线面角的正弦值为.
答案：B
图6
6．如图6所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　)
A.
B.
C.
D.
图7
解析：如图7，连结AC，AC∩BD＝O，连结OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，
C，D，结合图形可知，＝且为面BOF的一个法向量，由＝，＝，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
∴tan〈n，〉＝.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________．
图8
解析：以A为原点建立直角坐标系(如图8所示)，设B(2，0，0)，则E(1，0，0)，F(2，2，1)，C1(2，2，2)，A1(0，0，2)，
∴＝(1，2，1)，＝(2，2，0)，
∴cos〈，〉
＝
＝＝，
∴〈，〉＝30°.
答案：30°
图9
8．如图9所示，P是二面角α－AB－β棱上一点，分别在α，β内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β大小为________．
图10
解析：如图10，过M在α内作MF⊥AB，过F在β内作FN⊥AB交PN于点N，连结MN.
∵∠MPB＝∠NPB＝45°，
∴△PMF≌△PNF.
设PM＝1，则：MF＝NF＝，PM＝PN＝1，
又∵∠MPN＝60°，
∴MN＝PM＝PN＝1，
∴MN2＝MF2＋NF2，
∴∠MFN＝90°.
答案：90°
9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB与平面BCD所成角为60°.其中真命题是________．(请将你认为是真命题的序号都填上)
解析：如图11将正方形①取BD中点O，连结AO、CO，
易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC；
②如图11建立空间坐标系，设正方形边长为a，则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，故＝(－a，－a，0)，C(0，0，a)，D(0，a，0)，故＝(0，
a，－a)，由两向量夹角公式得：cos〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为；
图11
③在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a解得：
AC＝AO＝a，故三角形ADC为等边三角形．
④易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得：
∠ABO＝45°，故④错．
答案：①②③
三、解答题(共40分)
图12
10．(10分)如图12在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．
(1)若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置；
(2)求三棱锥C－DED1的体积．
解：(1)以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
设E(1，t，0)(0≤t≤2)，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，t－2，0)，
根据数量积的定义及已知得：
∴1＋0×(t－2)＋0＝×·cos60°，
∴t＝1，
∴E的位置是AB中点．
(2)VC－DED1＝VD1－DEC＝××2×1×1＝.
图13
11．(15分)如图13，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)如图14，以D为坐标原点，设AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．
图14
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，
＝
(－1，0，0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，
则
可取m＝(0，－1，－)．
cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值为－.
图15
12．(15分)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD＝AD＝a.
(1)求二面角A－PB－D的大小；
(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE.若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)方法一：连接AC，设AC交BD于点O，
图16
∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PBD，
过O点在平面PBD内作OF⊥PB于点F，
∵AO⊥PB且OF∩AO＝O，
∴PB⊥平面AOF，
AF 平面AOF，
∴AF⊥PB.
则∠OFA是二面角A－PB－D的平面角．
由已知得AB⊥PA，PA＝a，AB＝a，PB＝a，
∴AF＝＝a，
∴sin∠OFA＝＝，
∴∠OFA＝60°，∴二面角A－PB－D的大小为60°.
方法二：建立如图17所示的空间直角坐标系，∵PD＝AD＝a且ABCD为正方形，
图17
∴D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，
＝(0，0，－a)，
＝(－a，－a，0)，
＝(a，0，－a)，＝(0，a，0)，
设平面PAB的法向量为m＝(xm，ym，zm)，
则，即，
令xm＝1，则m＝(1，0，1)．
设平面PBD的法向量n＝(xn，yn，zn)，
则，即，令xn＝1，
则n＝(1，－1，0)，
令m，n的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，θ＝60°，
显然二面角A－PB－D的平面角为锐角，
∴二面角A－PB－D的大小为60°.
(2)假设在线段PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE.
则PC⊥DE，PC⊥AD.
取PC中点H，连接EH、DH，
∵PD＝AD＝DC，且PD⊥DC，
∴DH⊥PC，∴PC⊥平面DEH，
∴PC⊥EH.
∵PC⊥AD，AD∥BC，∴PC⊥BC.
∴EH∥BC，∵H为PC中点，∴E为PB中点．
即在线段PB上存在它的中点E，使PC⊥平面ADE.