3.2.3 空间向量与空间角 同步练习2（含答案）

3.2.3
空间向量与空间角
同步练习
能力提升
1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是
(　　)．
A．cos
θ＝
B．cos
θ＝
C．sin
θ＝
D．sin
θ＝
解析　若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝90°
β.
答案　D
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为
(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　线面角的范围是[0，]．
答案　C
3．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A

BD

C的大小为
(　　)．
A.
B.
C.或
D.或
解析　只需搞清二面角的范围是[0，π]．
答案　C
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则
O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，
＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)．
所以·＝0，所以直线BM与OP所成角为.
答案　
5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
解析　＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由
n·＝0，n·＝0知令x＝2，则y＝1，z＝.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3)．由
此易求出所求二面角的余弦值．
答案　
6．如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
解　建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，O1(0，1，)，
A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴cos〈，〉
＝
＝＝－.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是
(　　)．
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，
，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n
＝(0，0，1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，
所以〈·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
答案　A
8．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C BF D的正切值为
(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　如图所示，连接AC，AC∩BD＝O，连接OF.以O
为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空
间直角坐标系O－xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所
以B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，
0)．
结合图形可知，＝(0，，0)且为面BOF的一个法向
量，由＝(－，，0)，＝(，0，－)，
可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝.
答案　D
9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是______．
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，
0，0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，
－1，0)，
设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，设平面A1BD
与BC1所成的角为θ，n⊥，n⊥，
所以n·＝0，n·＝0，
所以解得
所以n＝(1，－1，－1)，则cos〈，n〉＝＝－，所以sin
θ＝，
所以cos
θ＝＝.
答案　
10．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A BD C的正弦值为________．
解析　取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标
系．
设BC＝1，则A(0，0，)，B(0，－，0)，D(，0，0)．
所以＝(0，0，)，
＝(0，，)，＝(，，0)．
由于＝(0，0，)为平面BCD的法向量．
设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则
所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，
sin〈n，〉＝.
答案　
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.
解　如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)
则N(1，0，1)，
∴＝(－2，2，0)，
＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，
设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得取x＝1，则z＝－1，
∴n＝(1，0，－1)，
∵cos〈，n〉＝＝＝－，
∴sin
θ＝|cos〈，n〉|＝.
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
12．(创新拓展)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A EF C的大小为60°？
解　建系如图，
设AB＝a，BE＝b，CF＝c，
则C(0，0，0)，D(0，0，a)，
F(0，c，0)，A(，0，a)，
E(，b，0)，B(，0，0)，
(1)证明　＝(，b，0)－(，0，a)＝(0，b，－a)，
＝(0，0，a)，＝(0，c，0)，
设＝λ＋μ，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，
∴μ＝，λ＝－1，∴＝－＋，
又AE 平面DCF，∴AE∥面DCF.
(2)∵＝(－，c－b，0)，＝(，b，0)
且·＝0，||＝2.
所以
解得b＝3，c＝4，
所以E(，3，0)，F(0，4，0)．设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n·＝0，n·＝0，
解得n＝(1，，)．
又因为BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，
所以cos〈n，〉＝＝＝，
得到a＝，所以当AB为时，二面角A

EF

C的大小为60°.