3.2.4 空间向量与空间距离 同步练习1（含答案）

3.2.4
空间向量与空间距离
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A.　B．2
C.
D.
解析：＝(＋)＝(4，3，6)＝(2，，3)，而＝(0，1，0)，
∴＝－＝(－2，－，－3)，
||＝＝.
答案：D
2．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边长的高BD的长等于(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，
则在上的投影d＝＝4.
而||＝，
∴AC边上的高BD＝＝5.
答案：C
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为(　　)
A．10
B．3
C.
D.
解析：d＝
＝＝.
答案：D
图1
4．点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2.则P到平面BQD的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
图2
解析：如图2，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，
＝(3，0，－1)，
＝(－3，4，0)，
＝(0，0，1)，
设平面BQD的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令x＝4，则z＝12，y＝3，
∴n＝(4，3，12)．
∴P到平面BQD的距离d＝＝.
答案：B
5．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为重足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　)
A.
B.
C.
D．1
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝|AC|2＋||2＋||2，
∴||2＝2.在Rt△BDC中，BC＝.
∵面ABC⊥面BCD，过D作DH⊥BC于H，则DH⊥面ABC，∴DH的长即为D到平面ABC的距离，∴DH＝＝＝.故选C.
答案：C
6．已知二面角α－l－β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P、Q两点之间距离的最小值为(　　)
A.
B．2
C．2
D．4
图3
解析：作PM⊥β，QN⊥α，垂足分别为M、N.
分别在面α、β内作PE⊥l，QF⊥l，垂足分别为E、F，如图3所示，
连接ME、NF，则ME⊥l，
∴∠PEM为二面角α－l－β的平面角．∴∠PEM＝60°.
在Rt△PME中，||＝＝＝2，
同理||＝4.
又＝＋＋，
∴||2＝4＋||2＋16＋2·＋2·＋2·＝20＋||2＋2×2×4cos120°＝12＋||2.
∴当||2取最小值0时，||2最小，
此时||＝2.
答案：C
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．如图4，已知在60°的二面角α－l－β中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.
图4
解析：∵AC⊥l，
BD⊥l，α－l－β为60°的二面角，
∴〈，〉＝60°.
∵＝＋＋，
∴＝＋＋＋2·＋2·＋2·.
∴52＝12＋＋4＋2·||||×cos〈，〉．
∴＝20－2×1×2×cos120°＝22.
∴|CD|＝.
答案：
图5
8．在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．
解析：分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图5，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，
∴＝(2，2，－2)，＝(2，0，0)．
设n＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则
即取y＝1，则n＝(0，1，1)．
又＝(1，－2，0)，
∴点D到平面PBC的距离为＝.
答案：
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
解析：建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，B1
(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，，0)，如图6所示，
图6
设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即
∴－ax＝0，ay－z＝0.
∴令z＝2，得n＝(0，1，2)．
又＝(0，－，a)，
∴所求距离d＝＝＝a.
答案：a
三、解答题(共40分)
图7
10．(10分)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．
(1)证明DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
解：(1)证明：以D为原点，建立如图8所示的坐标系，
图8
则P(0，0，2)、F(1，0，0)、B(2，2，0)、E(0，1，1)．
＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，
＝(0，1，1)．
∴＝＋.
∴∥平面PFB.
又∵D 平面PFB，∴DE∥平面
PFB.
(2)平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，
则 令x＝2，
则
∴法向量n＝(2，－1，1)．
又∵＝(0，1，－1)，
∴d＝＝＝.
∴点E到面PFB的距离为.
图9
11．(15分)如图9，边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、C1C的中点，DG＝DD1，过E、F、G的平面交AA1于点H，求A1D1到面EFGH的距离．
图10
解：如图10所示，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(1，1，)，F(0，1，)，G(0，0，)，D1(0，0，1)，
＝(－1，0，0)，
＝(0，－1，－)．
设面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0且n·＝0，
即令z＝6，
可得n＝(0，－1，6)．
又＝(0，1，－)，∴d＝＝.
图11
12．(15分)如图11，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
图12
解：在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.
建立如图12所示空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，＝(－1，y，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则∴
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，则
平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)．
∴点Q到平面PCD的距离为
d＝＝＝，
∴y＝－或y＝(舍去)．此时|AQ|＝，|QD|＝.
∴存在点Q满足题意，此时＝.