3.2.4 空间向量与空间距离 同步练习2（含答案）

3.2.4
空间向量与空间距离
同步练习
1．若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，
0)，则线段AB的中点P到点C的距离为
(　　)．
A.
B．2
C.
D.
解析　由题意＝(＋)＝(2，，3)，＝－＝(－2，－，－3)，||＝
＝.
答案　D
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在a内，则P(－2，1，4)到α的距离为
(　　)．
A．10
B．3
C.
D.
解析　设点P到α的距离为h，
则h＝＝.
答案　D
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为
(　)．
A.a
B.
C.
D.
解析　连结BD，AC交于点O，
则D1O＝＝a为所求．
答案　D
4．二面角α l β的平面角为60°，A、B∈l，AC α，BD β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析　∵＝＋＋，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l.
∴·＝0，·＝0，
∴||＝
＝＝.
答案　
5．正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角E

AB

C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．
解析　直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，
∴d＝.
答案　
6．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距离．
解　∵＝(－2，－6，2)．
∴·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14，
|n|＝＝5.
∴点P到直线l的距离为＝.
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是
(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐
标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O(，，1)，＝(，－，0)，设平面ABC1D1的法向
量为n＝(x，y，z)，则有
即
取n＝(1，0，1)
∴O到平面ABC1D1的距离为：
d＝＝＝.
答案　B
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为
(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，
A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，
∴＝(2，2，0)，＝(2，0，－4)，＝(0，0，4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥，
∴即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
由在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
答案　C
9．直角△ABC的两条直角边BC＝3，
AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
解析　以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系．
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，)，
所以＝(－4，3，0)，
＝(－4，0，)，
所以在AB上的投影长为
＝，
所以P到AB的距离为
d＝＝＝3.
答案　3
10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为______．
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，则A1(4，0，3)，
B1(4，6，3)，
B(4，6，0)，C1(0，6，3)，
＝(－4，6，0)，＝(0，6，－3)，
＝(－4，0，3)，＝(0，6，0)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由解得n＝(1，，)．
∴d＝＝.
答案　
11．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解　(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，
y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，
C(0，1，0)，E(1，，0)，
F(，1，0)，＝(－，，0)，＝(1，，－1)，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，所以
令x＝2，则y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2，3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝(0，，0)，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为.
12．(创新拓展)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
解　如图所示，建立空间直角坐标系D xyz，则A(4，0，0)，
M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4)，
从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，
＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴＝，＝，
∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而解得
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于＝(0，4，0)，
所以在n上的投影为＝＝－.
∴两平行平面间的距离d＝＝.