2.3.1
双曲线及其标准方程
同步练习
一、选择题
1.若方程=1表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是( ).
A.k>5
B.k>5或-2C.k>2或k<-2
D.-2答案:B
解析:由(k-5)(|k|-2)>0，得k>5或-22.椭圆=1和双曲线=1有相同的焦点，则实数n的值是( ).
A.±5
B.±3
C.5
D.9
答案:B
解析:由题意知34-n2=n2+16，∴2n2=18，n2=9.
∴n=±3.
3.若点M在双曲线=1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|=3|MF2|，则|MF2|等于( ).
A.2
B.4
C.8
D.12
答案:B
解析:双曲线中a2=16，a=4，2a=8，由双曲线定义知||MF1|-|MF2||=8，又|MF1|=3|MF2|，所以3|MF2|-|MF2|=8，解得|MF2|=4.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是( ).
A.16
B.18
C.21
D.26
答案:D
解析:如图，根据双曲线定义知|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a.
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a=16.
∴|AF2|+|BF2|=21.
∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
二、非选择题
5.一动圆过定点A(-4，0)，且与定圆B:(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
答案:=1
解析:设动圆M的半径为r，依题意有|MA|=r.因为动圆与定圆相切，所以|MB|=r±4，即|MB|-|MA|=±4，从而动圆圆心M到两定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c=4，2a=4，∴a=2，a2=4，b2=c2-a2=12，故所求轨迹方程是=1.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线=1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为 .
答案:
4
解析:双曲线的右焦点为F(4，0).
把x=3代入双曲线方程得y=±，即M(3，)或M(3，-).
由两点间距离公式得
|MF|==4.
7.已知F是双曲线=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 .
答案:9
解析:设右焦点为F'，由题可知F'坐标为(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|-|PF'|=4，∴|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|，∴要使|PF|+|PA|最小，只需|PF'|+|PA|最小即可，|PF'|+|PA|最小需P，F'，A三点共线，最小值即4+|F'A|=4+=4+5=9.
8.已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|+|MF2|=6，试判别△MF1F2的形状.
解:(1)椭圆方程可化为=1，焦点在x轴上，且c=，
故设双曲线方程为=1，
则有解得a2=3，b2=2，
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|-|MF2|=2，
因为|MF1|+|MF2|=6，
所以|MF1|=4，|MF2|=2.
又|F1F2|=2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
而cos∠MF2F1=<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形.2.3.1
双曲线及其标准方程
同步练习
1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是
( )．
A.－＝1(x≤－4)
B.－＝1(x≤－3)
C.－＝1(x≥4)
D.－＝1(x≥3)
2．双曲线－＝1的焦距为
( )．
A．3
B．4
C．3
D．4
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为
( )．
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
4．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为
( )．
A．－1B．k>1
C．k<－1
D．k>1或k<－1
5．已知双曲线C：
－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于
( )．
A．24
B．36
C．48
D．96
6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．
7．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，
若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
8．双曲线
－＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m＝________.
9．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.
10．(1)求经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
11．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
12．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
