2.3.2
双曲线的简单几何性质
同步练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为4.
答案：C
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－
B．－4
C．4
D.
解析：∵mx2＋y2＝1是双曲线，
∴m<0，且其标准方程为y2－＝1.
又∵其虚轴长是实轴长的2倍，
∴－＝4，即m＝－.
答案：A
3．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
解析：由题意，得双曲线焦点在x轴上，
且a2＝8，b2＝m，∴a＝2，b＝.
又渐近线方程为y＝±2x，∴＝4.∴m＝32.
答案：D
4．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( )
A．4
B．2
C．1
D．－2
解析：∵双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，
∴若x＝a与双曲线有两个交点，
则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．
答案：A
5．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2)
B．(，)
C．(2，5)
D．(2，)
解析：e＝＝
＝＝.
∵a>1，∴0<<1，
∴1<1＋<2，
∴
答案：B
6．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于( )
A．2
B.
C．2
D.
解析：由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为
F1(－，0)、F2(，0)．设点P(x，y)，
则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，
∵·＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
∴|＋|＝2.
答案：C
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．已知(2，3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为______________．
解析：∵2c＝4，∴c＝2，
则b2＝c2－a2＝4－a2，
故－＝1得a2＝1，a＝1，
∴e＝＝2.
答案：2
8．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．
解析：∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，
∴双曲线C：－＝1的离心率e>，即>2.
∴m>4.
答案：(4，＋∞)
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
解析：由条件知双曲线的焦点为(4，0)，
所以解得a＝2，b＝2，
故双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题(共40分)
10．(10分)(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求双曲线的离心率．
(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两条渐近线的夹角．
解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴＝或＝.
当＝时，e＝；当＝时，e＝.
(2)∵e＝＝，∴＝即a＝b，
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
∴双曲线两条渐近线的夹角为90°.
11．(15分)设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，求双曲线的离心率．
解：∵AF1⊥AF2，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2.①
∵|AF1|＝3|AF2|，
∴点A在双曲线的右支上．
则|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF2|＝a，|AF1|＝3a，代入到①式得(3a)2＋a2＝4c2，＝.
∴e＝＝.
12．(15分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，
则
解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
∴PF1＝10，PF2＝4，
∴cos∠F1PF2＝＝，
∴sin∠F1PF2＝.
∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12.2.3.2
双曲线的简单几何性质
同步练习
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为
( )．
A．－
B．－4
C．4
D.
2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是
( )．
A．y＝±3x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为
( )．
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，
一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为
( )．
A.
B.
C.
D．2
5．若0( )．
A．相同的虚轴
B．相同的实轴
C．相同的渐近线
D．相同的焦点
6．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．8．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为________．
9．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．
10．求双曲线x2－＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．
11．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程．
12．已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A、B两点，且＝
(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且·＝0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？