2.4.2
抛物线的简单几何性质
同步练习
一 选择题
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(
).
A.x2=±3y
B.y2=±6x
C.x2=±12y
D.x2=±6y
答案:C
2.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=(
).
A.2
B.2
C.4
D.2
答案:B
3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F作直线交抛物线C于A，B两点，则△AOB的最小面积是(
).
A.-1
B.2
C.4
D.1
答案:B
4.抛物线y=x2上与直线2x-y=4距离最近的点的坐标是(
).
A.
(1，-1)
B.(1，1)
C.
(-2，4)
D.(2，4)
答案:B
5.已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是(
).
A.x=p
B.x=3p
C.x=p
D.x=p
答案:D
6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若=4，则|QF|=(
).
A.1
B.3
C.4
D.2
答案:B
解析:
如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.
过Q作QH⊥l于H，
则|QH|=|QF|.
由题意，得△PHQ∽△PMF，
则有，
∴|HQ|=3.∴|QF|=3.
二 非选择题
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若，则p=__________.
答案:2
解析:如图，过B作准线l的垂线，垂足为B1，设l与x轴交于M1，则易得MM1⊥l.
∵直线AB的斜率为，
∴∠BAB1=90°-60°=30°，
∴AB=2BB1.
∵，∴AM=MB.
∴BB1=AM=BM.
所以点M恰为抛物线的焦点，即=1，p=2.2.4.3
抛物线方程及性质的应用
同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.过点(-1，0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
【解析】选C.点(-1，0)在抛物线y2=x的外部，故过(-1，0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条，其中两条为切线，一条为x轴.
【举一反三】若把本题中的点(-1，0)改为(1，1)，则此时与y2=x只有一个公共点的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【解析】选B.因为点(1，1)在抛物线y2=x上，所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条，其中一条为切线，一条为平行于x轴的直线.
2.若抛物线y2=x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x+b对称，且y1y2=-1，则实数b的值为( )
A.-3
B.3
C.
2
D.-2
【解析】选D.因为A，B关于直线y=x+b对称，故kAB=-1，
设AB的方程为y=-x+t，与y2=x联立，
消去x得y2+y-t=0，
所以y1+y2=-1，y1·y2=-t=-1，
所以t=1，得x1+x2=3.
由AB的中点在直线y=x+b上，
所以，
即-=+b，得b=-2.
3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为( )
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=(x-1)或y=-
(x-1)
C.y=
(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
【解析】选C.由题意，可设|BF|=x，则|AF|=3x，设直线l与抛物线的准线相交于点M，则由抛物线的定义可知:
|MB|=2x，所以直线l的倾斜角为60°或120°，即直线l的斜率为±，故选C.
【拓展延伸】“中点弦”处理方法
当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时，可以“设而不求”，采用平方差法.
(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1，y1)，(x2，y2)代入圆锥曲线方程.
(2)“平方差”.将两方程作差，利用平方差公式.
(3)得斜率.把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0(中点坐标(x0，y0))代入可得，即直线的斜率.
(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.设A，B是抛物线y=-x2上的两个动点，且|AB|=6，则AB的中点M到x轴的距离的最小值为 .
【解析】当线段AB过抛物线的焦点时，AB的中点M到x轴的距离最小.
因为|AB|=6，结合抛物线的定义知，A，B两点到准线的距离之和为6，
所以中点M到准线的距离为3，
另抛物线y=-x2化为x2=-4y，
其准线为y=1，
则AB的中点M到x轴的距离为2.
答案:22.4.1
抛物线及其标准方程
同步练习
一、选择题
1.已知动点M的坐标满足方程5=|3x+4y-12|，则动点M的轨迹是( ).
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不对
答案:C
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为( ).
A.0
B.1
C.2
D.4
答案:C
3.
O为坐标原点，F为抛物线C:y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为( ).
A.2
B.2
C.2
D.4
答案:C
4.已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，-2)到焦点的距离为4，则m等于( ).
A.4
B.-2
C.4或-4
D.2或-2
答案:C
二、非选择题
5.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是_________________.
答案:
解析:如图，由抛物线的定义知，点P到准线x=-的距离等于点P到焦点F的距离.
因此点P到点(0，2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0，2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0，2)到点F的距离，则距离之和的最小值为3.
