课件17张PPT。-----直线的方向向量与平面的法向量3.2立体几何中的向量方法(一) 上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节我们进一步学习立体几何中的向量方法.
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.思考如何确定一个点在空间的位置？在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？AP1、点的位置向量ABP2、直线的方向向量αobaP3、平面的法向量学.科.网法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α ，那么向量a叫做平面α的法向量αla类似于直线的方向向量，还可以用平面的
法向量表示空间中平面的位置问题：法向量如何确定平面的位置？A给定一点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的.因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.4、法向量的运用注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行
包括线在面内，面面平行包括面面重合.①平行②垂直③相交或异面①垂直②平行③相交(不垂直)例3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.小结1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空间问题的向量方法的媒介.
2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研究直线、平面之间关系的原理与方法，特别是直线、平面的位置关系与方向向量、法向量之间的联系.课件11张PPT。-----利用向量解决平行与垂直问题3.2立体几何中的向量方法(二)用向量运算处理平行关系用向量运算处理垂直问题例1 如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C、B1C1的中点，求证:MN∥平面A1BD典型例题例1 如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C、B1C1的中点，求证:MN∥平面A1BD法1:建立如图所示的空间直角坐标系.例1 如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C、B1C1的中点，求证:MN∥平面A1BD法2:法3:例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD得交点，G为CC1的中点，求证A1O⊥平面GBD小结1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理.
2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:
(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系都可)，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面；
(2)通过向量运算处理平行、垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题.
作业P112 2 3 4课件22张PPT。-----利用向量解决空间的角问题3.2立体几何中的向量方法(三) 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题.空间三种角的向量求解方法图(1)图(2)例1：所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以：练习：在长方体 中，例2：在长方体 中，练习：
的棱长为1.正方体设平面 例4：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 和 ，CD的长为 ， AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算所以思考：分析：∴ 可算出 AB 的长. (2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线
长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 . (3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F.∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”. (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.(化为向量问题)
(进行向量运算)(回到图形问题)
小结：小结：1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角：关键：观察二面角的范围作业：P111 A组 1 4 6 8 10课件16张PPT。-----利用向量解决空间的距离问题3.2立体几何中的向量方法(四)向量法求空间距离的求解方法学.科.网
1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.
2.空间中两点间的距离:设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z3)，则
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点，
点A为平面内的任一点，平面的法向量为n，过
点P作平面?的垂线PO，记PA和平面?所成的
角为?，则点P到平面的距离n?APO?BAaMNnab 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解:如图1，不妨设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题组卷网这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍.典例zxxkw思考：(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ (2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ， 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗？ (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离
是多少？ (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离)思考(1)分析:思考(2)分析:∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.H 分析：面面距离转化为点面距离来求解：∴ 所求的距离是 思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 如何用向量法求点到平面的距离？(1) 求B1到面A1BE的距离；例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(2) 求D1C到面A1BE的距离；解:∵D1C∥面A1BE
∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；解:∵面D1CB1∥面A1BD
∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.课堂练习:练习1：如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长. FEB1C1D1DCA练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离.BxyzA1练习3：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1， ∠ACB=900，AA1= ，求B1到平面A1BC的距离.xyz小结 利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题.但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正(长)方体、直棱柱、正棱锥等.补充作业：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离.GBDACEFxyz课件14张PPT。-----空间的综合问题
3.2立体几何中的向量方法(五)用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤:1.建立适当的空间直角坐标系；
2.写出相关点的坐标及向量的坐标；
3.进行相关的计算；
4.写出几何意义下的结论.例1、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，
每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这
些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？F1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxyF1F2F3ACBO500kgzxy例2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD
是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，
E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB ⊥平面EFD；
(3)求二面角C-PB-D的大小.DABCEPFABCDPEFG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC，AC交BD于点G，连结EGABCDPEFGABCDPEFG小结 利用空间向量解决立体几何中的问题，首先要探索如何用空间向量来表示点、直线、平面在空间的位置以及它们的关系.即建立立体图形与向量之间的联系，这样就可以将立体几何问题转化成空间向量的问题.解决立体几何中的问题，有三种常用方法:综合方法、向量方法、坐标方法，对具体问题要会选用合适的方法.
