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3.2
立体几何中的向量方法(1)
学案
学习目标
1.
掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念；
2.
掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
学习重难点
重点：掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念；
难点：掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
学习过程
一、课前准备
(预习教材P102~
P104，找出疑惑之处)
复习1：______________可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
复习2：如何判定空间A，B，C三点在一条直线上？
复习3：设a＝，b＝，
a·b＝_______________.
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：
向量表示空间的点、直线、平面
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
新知：
⑴点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.21cnjy.com
⑵
直线：
①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
②
对于直线上的任一点，存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程.
⑶
平面：
①
空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点，是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对，使得.
②
空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
⑷
平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作⊥，那
么向量叫做平面的法向量.2·1·c·n·j·y
试试：
.
1.如果都是平面的法向量，则的关系_________________..
2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是_____________.【来源：21·世纪·教育·网】
反思：
1.
一个平面的法向量是唯一的吗？
2.
平面的法向量可以是零向量吗？
⑸
向量表示平行、垂直关系：
设直线的方向向量分别为，平面
的法向量分别为，则
①
∥∥
②
∥
③
∥∥
※
典型例题
例1
已知两点，求直线AB与坐标平面的交点.
变式：已知三点，点在上运动(O为坐标原点)，求当取得最小值时，点的坐标.
小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
例2
用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.21世纪教育网版权所有
变式：在空间直角坐标系中，已知，试求平面ABC的一个法向量.
小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
※
动手试试
练1.
设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：
⑴
；
⑴
.
练2.
设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：
⑴
；
(2)
.
三、总结提升
※学习小结
1.
空间点，直线和平面的向量表示方法
2.
平面的法向量求法和性质.
※
知识拓展：
求平面的法向量步骤：
⑴设平面的法向量为；
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；
⑶根据法向量的定义建立关于的方程组；
⑷解方程组，取其中的一个解，即得法向量.
学习评价
※
当堂检测(时量：5分钟
满分：10分)计分：
1.
设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是_________.
2.
设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是____________.
3.
已知，下列说法错误的是(
)
A.
若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.下列说法正确的是(
)
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
5.
已知，能做平面的法向量的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.2
立体几何中的向量方法(2)
学案
学习目标
1.
掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2.
掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
学习重难点
重点：掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
难点：掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P105~
P107，找出疑惑之处.
复习1：已知，，且，求.
复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：用向量求空间线段的长度
问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式求出线段长度.
试试：在长方体中，已知，求的长.
反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.
※
典型例题
例1
如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
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变式1：上题中平行六面体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，
那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗？
探究任务二：用向量求空间图形中的角度
例2
如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离分别为，的长为，的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.21·cn·jy·com
变式：如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，求的长.
三、总结提升
※
学习小结
1.
求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式；
2.
空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为
利用公式求解.
※
知识拓展
解空间图形问题时，可以分为三步完成:
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；www.21-cn-jy.com
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
学习评价
※
当堂检测(时量：5分钟
满分：10分)计分：
1.
已知，则______________.
2.
已知，则的夹角为______________.
3.
若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点，那么直线所成的角的余弦为(
)
A.
B.
C.
D.
4.
将锐角为边长为的菱形沿较短的对角线折成的二面角，则间的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
5.正方体中棱长为，，是的中点，则为
(
)
A.
B.
C.
D.
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3.2
立体几何中的向量法则(3)
学案
学习目标
1.
进一步熟练求平面法向量的方法；
2.
掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3.
熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
学习重难点
重点：掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
难点：熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
学习过程
一、课前准备
复习1：已知，试求平面的一个法向量.
复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：点到平面的距离的求法
问题：如图A空间一点到平面的距离为，已知平面的一个法向量为，且与不共线，能否用与表示？21教育网
分析:过作⊥于O，
连结OA，则
d=||=
∵⊥，
∴∥.
∴cos∠APO=|cos|
∴D.
=|||cos|
==
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A空间一点到平面的距离为，平面的一个法向量为，则
D.
=
试试：在棱长为1的正方体中，求点到平面的距离.
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.
※
典型例题
例1
已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，
GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.21cnjy.com
变式：如图，是矩形，平面，，，分别是的中点，求点到平面的距离.
小结：求点到平面的距离的步骤：
⑴
建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵
求平面的一个法向量的坐标；
⑶
找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷
代入公式求出距离.
探究任务二：两条异面直线间的距离的求法
例2
如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和，使得，且
.已知，求公垂线的长.
变式：已知直三棱柱的侧棱，底面中，
，且，是的中点，求异面直线与的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.
三、总结提升
※
学习小结
1.空间点到直线的距离公式
2.两条异面直线间的距离公式
※
知识拓展
用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.
学习评价
※
当堂检测(时量：5分钟
满分：10分)计分：
1.
在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为__________
2.
在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是_________
3.
在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是
___________
4.
在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是____________；
5.
在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是__________________.21世纪教育网版权所有
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