登陆21世纪教育 助您教考全无忧
北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第1课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
2.过程与方法
经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
3.情感态度和价值观
培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
【教学重点】
掌握矩形的性质，并学会应用．
【教学难点】
理解矩形的特殊性．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、导入新课
导语：在我们现实生活中，平行四边形的形象无处不在，请同学们观察下列图片中的平行四边形.
这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。
二、探究新知
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质 吗？ 21教育网
（矩形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形）
你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
2.活动内容1：请同学们用你手中的矩形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线. 矩形是中对称图形，对称中心是两条对称轴的交点。www.21-cn-jy.com
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；
②角：四个角是直角；
③对角线：相等且互相平分．
活动内容2：矩形性质定理的证明
如何推理证明“矩形的四个角都是直角，对角线相等”这两个性质呢？
已知:如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O,
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.
处理方式：分析:(1)由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.(2)根据矩形的性质,可转化
为全等三角形(SAS)来证明，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.21cnjy.com
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等），
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC(矩形的对边相等），
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴AC=DB.
设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.2·1·c·n·j·y
活动内容3：在Rt△ABC中，斜边AB上的中线是，它与斜边的关系是CD= AB．
推论：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
教师强调：矩形的性质定理
1、对角线互相平分且相等；
2、对边平行且相等；
3、四个角都是直角；
4、矩形既是轴对称图形,对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线，也是中心对称图形；
5、矩形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
例题讲解
例1.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD的长是（ ）
A.1 B. C.2 D.
解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.
例2.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析：根据矩形的四个角都是直角，得到∠BAD=90°，根据已知可以计算出∠FAD=30°，再由折叠的性质可以得到∠DAE=15°故选A.21·世纪*教育网
例3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝_____．
解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.
答案：4
例4.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.21·cn·jy·com
解:∵四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD,,
∴OA=OD
∵∠AOD=120°
∴∠ODA=∠OAD=30°
∵∠DAB=90°
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm)。
四、拓展提高：
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且,求证:△ABC是直角三角形.
分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.21世纪教育网版权所有
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
∵ AD=BD,CD=ED.
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD.
∴ AC=DB.
∴四边形ACBE是矩形.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
五、课堂总结
定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
特殊性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
矩形具有平行四边形的所有性质。
六、作业布置
1.习题2.1：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§2.1 矩形的性质与判定(1)
矩形的定义： 矩形的性质定理：1.2. 例1 例2
【教学反思】
本节课出示多媒体图片引导学生，从而板书课题，演示让生观察得矩形定义，在掌握定义的基础上探究并证明矩形的性质，然后学习矩形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。www-2-1-cnjy-com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第3课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
2.过程与方法2·1·c·n·j·y
通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感态度和价值观
在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。【来源：21·世纪·教育·网】
【教学重点】
理解矩形判定定理的应用
【教学难点】
矩形判定定理的应用
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
矩形的定义；（2）矩形的性质；（3）矩形的判定；（4）直角三角形的性质及判定方法。
二、探究新知
1.矩形的性质与判定的应用
例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.21·世纪*教育网
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AE⊥BD，可得AB=AO,从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.www-2-1-cnjy-com
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO= BD(矩形的对角线相等且互相平分），
∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）
∵ED=3BE,
∴BE=OE
又∵AE⊥BD,
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO,
即△ABO是等边三角形
∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，
∴
例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.21*cnjy*com
分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.【来源：21cnj*y.co*m】
（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。
解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
又∵AN平分∠MAC，
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2) OD// AB, ,理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
又∵D是BC边中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AB, .
三、巩固练习
1．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为______
解析：∵AC=10,BC=8
根据勾股定理
∴
∴图中的五个小矩形的周长之和即大矩形的周长
2(AB+BC)=2(6+8)=28
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )2-1-c-n-j-y
A．18° B．36° C．45° D．72°
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=AC，OB=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，
∴∠CAE=67.5°-22.5°=45°，
故选C.
3、矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线长为______ ，面积为________。21·cn·jy·com
解析：矩形各边中点围成的四边形为菱形，且周长为20
∴菱形的边长为5，
故矩形的对角线的长为10，
矩形的另一边=
∴矩形的面积=6×8=48.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC.21教育网
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ACB，
又∵DC＝CD，
∴△ADC≌△ECD
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE且BD=AE
∵BD=DC
∴DC//AE且DC=AE
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AC=DE
∴平行四边形ADCE是矩形.
四、拓展提高：（矩形中的折叠问题——折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变）21世纪教育网版权所有
1．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝____．www.21-cn-jy.com
分析：连接EF，则可证明△EA'F≌△EDF，从而根据BF=BA'+A'F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．【出处：21教育名师】
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=。
由折叠的性质可得AE=A'E，
∴A'E=DE，
在Rt△EA'F和Rt△EDF中，
∵EA=ED，EF=EF，
∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL）。
∴A'F=DF=，
∴,
在Rt△BCF中，,
.
2.如图，矩形ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）21cnjy.com
A.3 B.4 C.5 D.6
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【版权所有：21教育】
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中,
即 ，
解得x=6，
则AB=6．
故答案为：D．
五、课堂总结
矩形的性质与判定的应用
矩形中折叠问题的处理（折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变）
六、作业布置
习题2.3第2、3题．
【板书设计】
1.2.3菱形的性质和判定
菱形的性质：菱形的判定： 例题板书 投影区
学生板演区
【教学反思】
本节课是矩形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对矩形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了矩形的各项性质及判别方法。在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于矩形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第2课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
（2）.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
矩形的判定
【教学难点】
矩形的判定及性质的综合应用．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
矩形的定义；（2）矩形的特征；（3）矩形的特殊性质；
提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？
二、探究新知
1.矩形的判定1：定义法（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
当 时，平行四边形为矩形。
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
2.矩形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形
活动内容1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线相等的平行四边形是矩形.21cnjy.com
活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线相等的平行四边形是矩形，你能证明这个命题吗？
处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.21·世纪*教育网
定理的证明：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，且AC=DB，证明： 四边形ABCD是矩形.2-1-c-n-j-y
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC,AB//DC
又∵BC=CB,AC=DB
∴ △ABC≌△DCB
∴ ∠ABC=∠DCB
∵AB//DC
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD
∴ □ABCD是矩形
3.矩形的判定3的探究：三个角是直角的四边形是矩形
活动内容1：一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？21*cnjy*com
处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到矩形的另一种判定方法：三个角是直角的四边形是矩形.并对这一判定方法加以证明.
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD是矩形.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
∴ □ABCD是矩形
归纳：矩形的三个判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
三、例题讲解例
例1.判断题：
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。 （ × ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形。 （ √ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形。 （ × ）
（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （ √ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。 （√）
例2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ）
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
例3、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD是菱形.【来源：21cnj*y.co*m】
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=4 OB=OD=3
又∵AB=5
∴
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
四、巩固练习：
例1.如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）.www-2-1-cnjy-com
解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.
答案：① ④
例2.如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.
分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；
根据题意可得△AMB≌△DMC，从而有∠A=∠D,再结合AB//CD，得到∠A=90°，即得证.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵M是AD的中点
∴AM=MD
∵MB=MC
∴△AMB≌△DMC(SSS)
∴∠A=∠D
∵∠A+∠D=180°
∴∠A=90°
∴平行四边形ABCD是矩形.
例3. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.21·cn·jy·com
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵OA = OB，
∴AC =BD，
∴ 平行四边形 ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=，
.
练习：
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ B ）2·1·c·n·j·y
A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD
C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD=BC
解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误
B、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确
C、由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D、由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
2.如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= ___5___ 时，四边形APQD也为矩形．
解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．
此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
故答案是：4．
如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 __2.4____ ．21教育网
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4.
4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．www.21-cn-jy.com
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）求四边形AEBD的面积．
分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长×宽=AD BD，即可得出结果．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，BD=CD．
∴BD=AE．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，
∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=BC=3，
∴AD=．
∴四边形AEBD的面积=BD AD═3×4=12．
拓展提高
(1)对角线相等的四边形是矩形吗 (等腰梯形)
(2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗
归纳：对角线相等且互相平分的四边形是矩形
几何语言：∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是矩形
例：已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。21世纪教育网版权所有
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
六、课堂总结
矩形的三个判定方法：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
七、作业布置
1.习题2.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
【板书设计】
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习矩形的性质，学生很容易可以猜想出矩形的判定。第二部分是合作探究证明矩形的判定。根据学生的猜想，让学生用矩形的定义来证明矩形的判定。第三部分是应用和检测。应用矩形的判定解决问题。
A
B
C
D
O
1.2.2矩形的性质与判定（二）
一、判定定理1： 判定定理2： 例1：
证明 证明
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
矩形的性质与判定练习
一、选择题（共8小题）
1.在□ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
3．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
A．14 B．16 C．17 D．18
4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． 3cm B．2cm C．cm D．4cm
5.若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．任意四边形 B.对角线相等的四边形
C．平行四边形 D.对角线互相垂直的四边形
6.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．8
7.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 ( )21cnjy.com
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT B. C. D.4
8.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 ( ) 2·1·c·n·j·y
A.12 B.24 C. D.
二、填空题（共6小题）
9．在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=______.21·世纪*教育网
10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和 为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为 ．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，则OD= ．
13.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ______ ．www-2-1-cnjy-com
14.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE,若AE=6.5,AD=5,则AC=_______;△ABE的周长是_______.2-1-c-n-j-y
解答题
15．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
16．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
17．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE=CF．
SHAPE \* MERGEFORMAT
18．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．21教育网
（1）求证：OE=OF；
（2）求∠ACB的度数．
如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAD．若∠EAO=15°，求∠BOE的度数．
20．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．
矩形的性质与判定练习
选择题
A
【解析】选A.当DC⊥BC时,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形ABCD是矩形;当OA=OB或AC=BD时,根据对角线相等的四边形是矩形可证四边形ABCD为矩形;当AB=AD时,可证四边形ABCD为菱形,不能证四边形ABCD为矩形.故选A.
D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，
∴OA=OB，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
3．D
【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE=CD=3，四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴AC===10，
∴BP=AC=5，
∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，
∴AE=AD=4，PE是△ACD的中位线，
∴PE=CD=3，
∴四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE=6+5+3+4=18；
故选：D．
D.
解：矩形ABCD的对角线AC＝8cm，根据矩形的对角线相等且互相平分，则AO=B0==4；∵∠AOD＝120 ，∴∠AOB=60 ；所以三角形AOB是等边三角形，AB=A0=4
D
6.A
解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，
故选：A．
A.
解析：∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,
∴DF∥BC,∴∠C=90°,∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4.
∴AC= =2 .∴BE=CD= .
∴四边形BCDE的面积为2× =
D
【分析】如图，连接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°.
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°.
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°="60°." ∴∠ABE=30°.
∴在Rt△ABE中，AB=.
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8.
∴矩形ABCD的面积=AB AD=×8=.
故选D.
填空题
(9). 5;
解：如图,∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,AC=10,
∴OA=OB= AC=5.
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=5.
（10）.14；
【解答】解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，21·cn·jy·com
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．
故答案为：14．
（11）.10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
（12）.3；
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=6，
OD=BD=3．
故答案是：3．
（13）4
解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴对角线AC==10，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴8＜AP＜10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=AP，
∴4＜a＜5．
故答案为：4＜a＜5． 【来源：21·世纪·教育·网】
(14).6.5 ; 25
解：∵AD⊥AB,∴△ABD为直角三角形.
又∵点E是BD的中点,
∴ BD=AE=BE=6.5,∴∠EAB=∠B,
∴∠AEC=∠B+∠EAB=2∠B=∠C,
即∠AEC=∠C,∴AE=AC=6.5.
在Rt△ABD中,AD=5,BD=2AE=2×6.5=13,
∴AB=12,∴△ABE的周长是AB+AE+BE=12+6.5+6.5=25.
三、解答题
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
16. 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
17.【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
18.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
在△OCF和△OAE中，
∠OCF=∠OAE,∠COF=∠AOF,CF=AE,
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=∠ABO=30°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=60°．
19.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴∠BEA=45°=∠BAE，
∴AB=BE，△ABE是等腰直角三角形，∠BAO=∠BAE+∠EAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，AB=OB，
∴∠OBE=30°，OB=BE，
∴∠BOE=（180°-30°）=75°．
20．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC；
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC=，
在矩形ABCD中，AB=CD=，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，
∴BE=2．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网(共68张PPT)
北师大版九年级上册
第二节：矩形的性质与判定
第一章：特殊平行四边形
问题导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
这些平行四边形中都有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。
探究新知
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。。
∟
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
1.矩形的定义
木门
纸张
电脑显示屏
生活中的矩形图片
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
想一想
矩形
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
（1）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
用矩形纸片折一折，回答下列问题：
矩形是轴对称图形，矩形是中心对称图形.
自主探究
O
2.矩形的性质
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；
②角：四个角是直角；
③对角线：相等且互相平分．
A
B
C
D
O
已知:如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O,
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
（2）AC=BD.
分析:(1)由矩形的定义,
利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
(2)根据矩形的性质,可转化
为全等三角形(SAS)来证明.
D
B
C
A
定理:矩形的四个角都是直角，两条对角线相等。
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等），
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
D
B
C
A
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC(矩形的对边相等），
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴AC=DB.
D
B
C
A
矩形的特殊性质：
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
AC = BD
D
B
C
A
谈究新知
仔细观察Rt△ABC，BO是Rt△ABC的什么特殊线段？与斜边有什么数量关系？
BO是斜边AC上的中线，
BO等于AC的一半.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD的长是（ ）
C
解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.
A.1 B. C.2 D.
例题讲解
例2.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
A
解析：根据矩形的四个角都是直角，得到∠BAD=90°，根据已知可以计算出∠FAD=30°，再由折叠的性质可以得到∠DAE=15°.
例3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝ ．
解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.
答案：4
4
例4.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形.
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
∴AC=BD,
∵∠DAB=90°.
D
B
C
A
O
∵∠AOD=120°.
∴∠ODA=∠OAD=
∴OA=OD
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
求证:△ABC是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且
分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.
拓展提高
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD.
∴ AC=DB.
∴四边形ACBE是矩形.
∵ AD=BD,CD=ED.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
课堂总结
请各位同学回忆一下矩形的性质有哪些？请从边，角，对角线和对称性的角度进行分析.
边
角
对角线
对称性
矩形的两组对边平行且相等
矩形的邻边垂直
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分
矩形的对角线相等
矩形是中心对称图形，对称中心是两条对称轴的交点
矩形是轴对称图形，对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.
课后作业
1.习题2.1：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
3.矩形的特殊性质
1.矩形的定义
（Ａ）矩形的四个角都是直角
（Ｂ）矩形的对角线相等
2.矩形的特征
矩形是一个轴对称图形和中心对称图形
我们可以怎样判定一个四边形是矩形？
复习引入
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
探究1
当 时，平行四边形为矩形。
有一个角是直角的平行
四边形叫做矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定1：定义法
∟
D
B
C
A
矩形的性质“两条对角线相等”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线相等”是矩形所特有的性质。
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形
的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩
形。”
除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
对角线相等的平行四边形是矩形 。
探究2
如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，且AC=DB，证明： 四边形ABCD是矩形．
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=DC,AB//DC
又∵BC=CB,AC=DB
∴ △ABC≌△DCB
∴ ∠ABC=∠DCB
∴平行四边形ABCD是矩形
∵AB//DC
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
验证猜想
对角线相等的平行四边形是矩形。
∵在□ABCD中，AC=BD
∴ □ABCD是矩形
矩形的判定2：
几何语言：
D
B
C
A
O
一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
探究3
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
验证猜想
三个角是直角的四边形是矩形.
∵在四边形ABCD中
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定3：
几何语言：
矩形常用的判定方法：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
例题讲解
例1.判断题：
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。 （ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形。 （ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形。 （ ）
（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。 （ ）
×
×
√
√
√
例2.如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有 （填写序号）.
① ④
解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.
答案：① ④
例3.如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.
分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；
根据题意可得△AMB≌△DMC，从而有∠A=∠D,再结合AB//CD，得到∠A=90°，即得证.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵M是AD的中点
∴AM=MD
∵MB=MC
∴△AMB≌△DMC(SSS)
∴∠A=∠D
∵∠A+∠D=180°
∴∠A=90°
∴平行四边形ABCD是矩形.
例4. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵OA = OB，
∴AC =BD，
∴ ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=
巩固练习
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD
C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD=BC
解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．
故错误
B、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确
C、由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D、由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
B
2.如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= ______ 时，四边形APQD也为矩形．
解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
故答案是：4．
4
3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ______ ．
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4.
2.4
4.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）求四边形AEBD的面积．
分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长×宽=AD BD，即可得出结果．
（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，BD=CD．
∴BD=AE．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，
∠ADB=90°，AC=5，BD=CD= BC=3，
∴AD= ．
∴四边形AEBD的面积=BD AD=3×4=12．
(1)对角线相等的四边形是矩形吗
(2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗
归纳：
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是矩形
等腰梯形
拓展提高
A
B
C
D
E
F
G
H
O
例：已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
五种判定方法
四边形
平行四边形
矩形
矩形的判定方法：
课堂总结
课后作业
1.习题2.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的特殊性质
1.矩形的定义
（Ａ）矩形的四个角都是直角
（Ｂ）矩形的对角线相等
复习引入
3.矩形的判定
(A).有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(B).对角线相等的平行四边形是矩形.
(C).有三个角是直角的四边形是矩形.
*
4、直角三角形的性质及判定方法：
角：
直角三角形两锐角互余。
线段：
边角关系：
1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边
的平方。
2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。
1、直角三角形中，30°角所对的直角边
等于斜边的一半。
2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于30°。
A
B
C
D
例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AE⊥BD，可得AB=AO,从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.
探究新知
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO= BD(矩形的对角线相等且互相平分），
∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）
∵ED=3BE,
∴BE=OE
又∵AE⊥BD,
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO,
即△ABO是等边三角形
∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，
∴
例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.
（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。
解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
又∵AN平分∠MAC，
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)OD// AB, 理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
又∵D是BC边中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AB, .
1．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为______．
巩固练习
解析：∵AC=10,BC=8
根据勾股定理
∴
28
∴图中的五个小矩形的周长之和
即大矩形的周长
2(AB+BC)=2(6+8)=28.
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )
A．18° B．36° C．45° D．72°
C
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA= AC，OB= BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，
∴∠CAE=67.5°-22.5°=45°，
故选C.
3、矩形的一边长为6，各边中点围成的四
边形的周长是20 ，则矩形的对角线长
为 ，面积为 。
解析：矩形各边中点围成的四边形为菱形，且周长为20
∴菱形的边长为5，
故矩形的对角线的长为10，
矩形的另一边=
∴矩形的面积=6×8=48.
10
48
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ACB，
又∵DC＝CD，
∴△ADC≌△ECD
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE且BD=AE
∵BD=DC
∴DC//AE且DC=AE
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AC=DE
∴平行四边形ADCE是矩形.
拓展提高
1．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝____．
分析：连接EF，则可证明△EA'F≌△EDF，从而根据BF=BA'+A'F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF= CD= AB= 。
由折叠的性质可得AE=A'E，
∴A'E=DE，
在Rt△EA'F和Rt△EDF中，
∵EA=ED，EF=EF，
∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL）。
∴A'F=DF=
∴
在Rt△BCF中，
2.如图，矩形ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
小提示：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变
D
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中,
即 ，
解得x=6，
则AB=6．
故答案为：D．
课堂总结
矩形中折叠问题的处理
矩形的性质与判定的应用
课后作业
习题2.3：知识技能第2，3两题
谢谢观赏