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课题：一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
一、知识与技能目标：
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
二、过程与方法目标：
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
三、情感态度与价值观目标：
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
重点：根与系数的关系及其推导.
难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系.
教学流程：
导入新课
一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程求根公式是什么？
3、指出下列一元二次方程中的一次项系数a,二次项系数b，常数项，c并求出方程的解。
（1）x2-2x-1=0 (2) （3）x2+3x+1=0
新课讲解
1、探索新知
方程 两根、的值 两根的和 两根的积
x2-2x-1=0
x2+3x+1=0
思考：（1）上述方程的两根的和、积与一次项系数及常数项分别有什么关系
（2）已知：如果一元二次方程 的两个根分别是x1 、x2.
猜想： 用a、b、c的代数式表示。
2、一元二次方程的根与系数的关系推导.
已知：如果一元二次方程 的两个根分别是x1 、x2 .
求证：
证明：
3、小结：在应用韦达定理时注意的问题.
（1）先将一元二次方程转化成一般形式，
（2）准确找到a,b,c，口算
（3）记准韦达定理.
4、例题精析
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ：
（1）x2+7x+6=0; （2）2x2-3x-2=0.
例2：已知关于x的方程2x2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1，求m的值及方程的两个根．21世纪教育网版权所有
探究理解
判断对错，如果错了，说明理由。
(1) 2x2-11x+4=0两根之和为11,两根之积为4。
(2) 4x2+3x=5两根之和为 ,两根之积为
(3) x2+2=0两根之和为0，两根之积为2。
(4) x2+x+1=0两根之和为-1，两根之积为1。
四、课堂练习
课堂练习 1
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ：
（1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0
2、小明和小华分别求出方程的根.
小明：
小华：
他们的答案正确吗？说说你的判断方法。
3、已知方程 的一个根是3求另一个根.
课堂练习2
1、已知方程 的一个根是4，它的另一 个根为 .k = .
2. 已知方程 的一个根是 －1，它的另一 个根为 , a = .
3.方程 的两根互为倒数，则k= .
变式：已知关于x的方程
(1)当m= 时，此方程的两根互为相反数.
(2)当m= 时，此方程的两根互为倒数.
五、课堂小结
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
一元二次方程根与系数的关系 的两个根分别是x1、x2，
那么：
课堂拓展
关x的方程，x2+mx-（m+1）=0
（1）无论m为何值时，方程有实数根
（2） m为何值时
1）两根互为相反数;
2）互为倒数;
3）有一个根为0
七、达标测评
1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积。
(1) x2-2x=2 (2) x2-3x+1=0 (3) 2x2-3x=0 (4) 3x2=1
2.已知方程 的一个根是 －1，它的另一个根为 ,a= .
3.以2和 －3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为： .
七、布置作业
教材51页习题第1、2、3题。
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 3 页 （共 3 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》练习
一、基础过关
1．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
2．定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）21教育网
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
3．若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）
A．﹣4 B．3 C． D．
4．设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
5．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（ ）21cnjy.com
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
二、综合训练
7．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
8．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则+= ．
10．定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2= ．21·cn·jy·com
11．已知α、β是方程x2﹣3x+1=0的两根，则α3﹣= ．
12．若△ABC的一边为4，另两边分别满足x2﹣5x+6=0的两根，则△ABC的周长为 ．
三、拓展应用
13．关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
14．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．www.21-cn-jy.com
15．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．
（1）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求该方程的另一根．
16．已知关于x的一元二次方程k2x2+（1﹣2k）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围．
（2）当k为何值时，|x1+x2|﹣2x1x2=﹣24．
17．若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=，x，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值．
（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
参考答案
一、基础过关
1．D
解：由根与系数的关系式得：2x2=﹣8，2+x2=﹣m=﹣2，
解得：x2=﹣4，m=2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选D
2．A．
解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，ab=m．
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
故选A．
3．D．
解：∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=
故选D．
4．D．
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ==，
故选D．
5．D．
解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，
∴，
∴则m2（）===﹣4．
故答案选D．
6．D．
解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+===﹣2=﹣2=﹣5．
故选D．
二、综合训练
7．答案为：2016．
解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．
8．答案为：m＞
解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
故答案为：m＞．
9．答案是：﹣2．
解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，
x1+x2=2，
x1 x2=﹣1，
∴+==﹣2．
故答案是：﹣2．
10．答案为．
解：在x2+x﹣1=0中，
a=1，b=1，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=5＞0，
所以x1=，x2=或x1=，x2=，
∴x1*x2=*=，
故答案为．
11．答案为：或
解：∵α、β是方程x2﹣3x+1=0的两根，
∴α2﹣3α+1=0，α2=3α﹣1，αβ=1，
解得：α=或α=，对应β=或β=，
则α3﹣
=，
=
=，
∴当α=，β=时，原式=；
当α=，β=时，原式=．
故答案为：或．
12．答案为：9．
解：设x2﹣5x+6=0的两个根分别为x1、x2，
则有x1+x2=﹣=﹣=5，
△ABC的周长为x1+x2+4=5+4=9．
故答案为：9．
三、拓展应用
13．解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1 x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1 x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
14．解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2
=4k2﹣8k+8
=4（k﹣1）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，
若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，
将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2．
15．（1）证明：∵在关于x的方程x2+mx+m﹣2=0中：△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，21世纪教育网版权所有
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：将x1=1代入方程x2+mx+m﹣2=0中得：
1+m+m﹣2=0，解得：m=．
∴原方程为x2+x﹣=0，
∴x1+x2=﹣=﹣，
∵x1=1，
∴x2=﹣．
故若该方程的一个根为1，该方程的另一根为﹣．
16．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（1﹣2k）2﹣4k2=1﹣4k＞0，
解得：k＜．
又∵k2≠0，
∴k的取值范围是k＜且k≠0．
（2）∵方程k2x2+（1﹣2k）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2=，x1 x2=，
∵|x1+x2|﹣2x1x2=﹣24，
∴||﹣2 =﹣24，即﹣=﹣24，
∴|2k﹣1|=﹣24k2+2，
①当2k﹣1≥0，即k≥时，与（1）中求得的k＜相矛盾，故舍去；
②当2k﹣1＜0，即k＜时，有﹣（2k﹣1）=﹣24k2+2，
解得：k1=，k2=﹣，
∵k＜，
∴k1=不合题意，故舍去．
经检验k2=﹣是方程﹣=﹣24的解．
综上，当k=﹣时，|x1+x2|﹣2x1x2=﹣24．
17．解：（1）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根，
∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6，
当m=﹣4时原方程无解，
∴m=6；
（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，
将x=7代入原方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，
解得：m=10或m=4，
当m=10时，方程为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或x=15，
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m=4时，方程为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或x=7，
此时三角形的周长为：7+7+3=17．
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认识一元二次方程
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
导入新课
2、一元二次方程求根公式是什么？
1.一元二次方程的一般形式是什么？
导入新课
（1）x2-2x-1=0
3、指出下列一元二次方程中的一次项系数a,二次项系数b，常数项，c并求出方程的解。
解：a=1,b=-2,c=-1
解：
导入新课
(2)
3、指出下列一元二次方程中的一次项系数a,二次项系数b，常数项，c并求出方程的解。
导入新课
（3）x2+3x+1=0
3、指出下列一元二次方程中的一次项系数a,二次项系数b，常数项，c并求出方程的解。
解：a=1,b=3,c=1
方程 两个根
两根
之和 两根
之积
探索新知
完成填空：
？
？
请观察两根之和与两根之积，它们与方程的系数有什么关系？
x2-2x-1=0
x2+3x+1=0
新课讲解
猜想
已知：如果一元二次方程
的两个根分别是 、 .
求证：
证明：
新课讲解
新课讲解
如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：
这就是一元二次方程 根与系数的关系，也叫——韦达定理.
新课讲解
判断对错，如果错了，说明理由。
(1) 2x2-11x+4=0两根之和为11,两根之积为4。
(3) x2+2=0两根之和为0，两根之积为2。
(4) x2+x+1=0两根之和为-1，两根之积为1。
(2) 4x2+3x=5两根之和为 ,两根之积为
(ⅹ)
(ⅹ)
(ⅹ)
(ⅹ)
2
△=0-4×2﹤0
△= 1-4×1 ﹤0
探究理解
小结：在应用韦达定理时注意的问题.
1.先将一元二次方程转化成一般形式，
3.记准韦达定理.
2.准确找到a,b,c，口算
新课讲解
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ：
（1）x2+7x+6=0; （2）2x2-3x-2=0.
解：（1）这里a=1,b=7,c=6
Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25＞0
∴方程有两个实数根
设方程的两个实数根是x1,x2,那么
x1+x2=-7,x1x2=6
新课讲解
典题精讲例1
（2）这里a=2,b=-3,c=2
Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×（-2）=9+16=25＞0
∴方程有两个实数根
设方程的两个实数根是x1,x2,那么
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ：
（1）x2+7x+6=0; （2）2x2-3x-2=0.
新课讲解
典题精讲例1
2、小明和小华分别求出方程 的根.
小明：
小华：
他们的答案正确吗？说说你的判断方法。
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ：
（1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0
课堂练习
2、小明和小华分别求出方程的根.
x1+x2=3,x1x2=-1
x1+x2=-2/3,x1x2=-5/3
利用根与系数关系判断
练一练
3、已知方程 的一个根是3求另一个根.
课堂练习
解:设方程的另一个根为x1
根据一元二次方程根与系数关系则3x1=-7
x1=-7/3
所以方程的另一个根为-7/3
练一练
新课讲解
典题精讲例2
已知关于x的方程2x2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1，求m的值及方程的两个根．
解：根据题意得x1+x2= ，x1x2= ，
∵x1-x2=1，
∴（x1-x2）2=1，
∴（x1+x2）2-4x1x2=1
整理得m2-10m-11=0，解得m1=11，m2=-1
当m=11时，原方程化为2x2-10x+12=0，即x2-5x+6=0，
解得x1=2，x2=3；
当m=-1时，原方程化为2x2+2x=0，即x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．
已知方程 的一个根是4，它的另一 个根为 . k = .
1
15
2. 已知方程 的一个根是 －1，它的另一 个 根为 , a = .
5
3.方程 的两根互为倒数，则k= .
1
练一练
课堂练习
3、已知关于x的方程
(1)当m= 时，此方程的两根互为相反数.
(2)当m= 时，此方程的两根互为倒数.
-1
1
(1)
(2)
分析:
a=1,
b=-(m+1),
c=2m-1
课堂练习
练一练
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
课堂小结
一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：
课堂拓展
关x的方程，x2+mx-（m+1）=0
（1）无论m为何值时，方程有实数根
（2） m为何值时
1）两根互为相反数;
2）互为倒数;
3）有一个根为0
解:(1)
∴无论m为何值时，方程有实数根
课堂拓展
关x的方程，x2+mx-（m+1）=0
（1）无论m为何值时，方程有实数根
（2） m为何值时
1）两根互为相反数;
2）互为倒数;
3）有一个根为0
解:
（2）设方程两根分别为x1，x2 ，
则x1+x2= -m, x1.x2 =-(m+1)
1)当两根互为相反数时， x1+x2= -m=0，∴m=0
2)当两根互为倒数时， x1.x2= -(m+1)=1，∴m=-2
3)有一根为0时， x1.x2= -(m+1)=0，∴m=-1
1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积。
(1) x2-2x=2
(2) x2-3x+1=0
(3) 2x2-3x=0
(4) 3x2=1
解:(1)
a=1,b=-2,c=-2
x2-2x-2=0
△= =12﹥0
所以原方程有两个不等实根
设方程的两个不实根分别是
达标测评
3.以2和 －3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为： .
2. 已知方程 的一个根是 －1，它的另一 个根为 ,a= .
1
12
达标测评
教材51页习题第1、2、3题。
布置作业
