北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《相似三角形的性质》(第1课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
2.过程与方法
（1）.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.
（2）.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.
3.情感态度和价值观
（1）.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.
（2）.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.
【教学重点】
（1）.相似三角形中对应线段比值的推导.
（2）.运用相似三角形的性质解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
【教学难点】
相似三角形的性质的运用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习回顾
(1)什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.
二、探究新知
相似三角形的性质
已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k.
（1）如果AD和A'D'是它们的对应高，那么 AD:A'D'等于多少？
（2）如果AF和A'F'是它们的对应角平分线,那么 AE:A'E'等于多少？如果AE和A'E'是它们的对应中线呢？www.21-cn-jy.com
探究1：相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
右图△ABC，AD为BC边上的高，则利用方格把三角形扩大2倍，得△A'B'C'，并作出B'C'边上的高A'D'。△ABC与△A'B'C'的相似比为多少 AD与A'D'有什么关系？
(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的高有什么关系呢？
说说你判断的理由是什么？
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠C=∠C'
∵∠ADC=∠A'D'C'
∴△ADC∽△A'D'C'
归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
探究2：相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？
如右图△ABC,AF为∠A的角平分线。则:(1)把三角形扩大2倍后得△A'B'C'，A'F'为∠ B'A'C'的角平分线， △ABC与△A'B'C'的相似比为多少？ AF与A'F'比是多少？
,
2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应角的角平分线比是多少？
说说你判断的理由是什么？
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠C=∠C'，∠BAC=∠B'A'C'
∵AF,A'F'分别是∠BAC,∠B'A'C'的角平分线
∴∠FAC=∠F'A'C'
∵∠C=∠C'
∴△FAC∽△F'A'C'
归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。
探究3：相似三角形对应边上的中线 有什么关系呢？
如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。则把三角形扩大2倍后得△A'B'C',A'E'为B'C'边上的中线。△ABC与△A'B'C'的相似比为多少？AE与A'E'比是多少？
(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的中线的比是多少呢？
说说你判断的理由是什么？
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠C=∠C'，
∵E,F分别是BC，B'C'的中点，
∵∠C=∠C'
∴△ACE∽△A'C'E'
归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。
总结：相似三角形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。
注意：
1、要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
2、反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点.
3、 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.
探究4：如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上，点D',E'在B'C'边上.2·1·c·n·j·y
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
解：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠BAC=∠B'A'C',∠B=∠B'
∴∠BAD=∠B'A'D'
∴△ABD∽△A'B'D'
解：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B'
∴△ABE∽△A'B'E'
总结：已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上，点D',E'在B'C'边上.【来源：21·世纪·教育·网】
三、例题讲解：
例1.若△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高，AD: A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条角平分线B′E′＝16 cm，则△ABC与之对应的角平分线BE＝___9_cm.21·世纪*教育网
解：根据相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比，可得
例2.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.21世纪教育网版权所有
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
例3.如图， AD是△ABC的高AD=h，点R在AC边上,点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为 E,当时，求DE的长。如果呢 21cnjy.com
解：∵SR⊥AD,BC⊥AD，
∴SR//BC，
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC
四、巩固练习
1.两个相似三角形的相似比为 ,则对应高的比为_______, 则对应中线的比为____.
2.两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三角形的对应角平分线的比为_____ ，对应边上的高的比为____，对应边上的中线的比为___.www-2-1-cnjy-com
3.如图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度为____16____ cm.2-1-c-n-j-y
分析：∵△ABO∽△CDO
又∵AB=36
∴CD=16．
如图，已知△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，已知AC＝6，BC＝4.2，DF＝2，求BE的长．21*cnjy*com
解：∵E，F分别为AC，BC的中点
∴BE和DF分别是△ABC和△CDB的中线
又∵△ABC∽△BDC
拓展提高
如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出求解过程．21教育网
分析：先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．21·cn·jy·com
解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
故电线杆的高度为9m.
课堂小结
相似三角形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。
七、作业布置
习题4.11：知识技能第1，3两题
【板书设计】
§4.7相似三角形的性质(1)
相似三角形的性质： 例题讲解 练习 练习
【教学反思】
本节课的教学重点是探索相似三角形的性质并能应用相似三角形的性质。实际上就是在了解相似三角形基本性质和判定方法的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。以合作探究的形式展开，即以小组的形式展开，让学生探究发现结论，体验成功的乐趣，培养学生探究问题的科学态度，促进创造性思维的发展。作业的设计，此部分主要是为了巩固学生对相似三角形性质的认识，并增强学生灵活
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《相似三角形的性质》(第2课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.
（2）.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.
2.过程与方法
（1）.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.
（2）.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.
3.情感态度和价值观
学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.21教育网
【教学重点】
（1).相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.
（2）.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.
【教学难点】
相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、复习回顾
填空：
已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2，则这两个三角形的对应角平分线的比为__2___ ，对应边上的高的比为__2__，对应边上的中线的比为__2___ .21cnjy.com
问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
二、探究新知
探究1：相似三角形的周长的关系
下图（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
问题1.图（2）与图（1）的三角形的相似比为_2:1____,图（3）与图（1）的相似比为____3:1__；
问题2.图（2）与图（1）的三角形的周长比为_2:1___,图（3）与图（1）的周长比为___3:1___；
从上面可以看出当相似比＝k时，周长比=___k___ ;
猜想：相似三角形的周长比等于相似比。
验证猜想：
已知：△ABC∽△A'B'C',求证：.
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
结论：相似三角形周长的比等于相似比。
例1：如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，已知△ABC的周长为20 cm，求△DEF的周长．21·cn·jy·com
解：∵点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点
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∴△EFD∽△ABC
练习：
1．若△ABC∽△A1B1C1(其中点A和A1，B和B1，C和C1分别对应)，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( C )2·1·c·n·j·y
A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2
分析：相似三角形的周长比等于相似比。
2.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，且AB＝3AD，已知△ADE的周长为6 cm，则△ABC的周长为___18_____cm.21·世纪*教育网
分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；
∴C△ADE：C△ABC=AD：AB=1：3；
∴C△ABC=3C△ADE=18．
探究2：相似三角形的面积的关系
下图（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
问题1.图（2）与图（1）的三角形的相似比为_2:1____,图（3）与图（1）的相似比为_3:1_____；
问题2.图（2）与图（1）的三角形的面积比为___4:1__,图（3）与图（1）的面积比为___9:1___；
从上面可以看出当相似比＝k时，面积比=_k2_____
猜想：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
验证猜想：
已知：△ABC∽△A'B'C',求证：
证明：分别过A、A′，作
AD⊥BC于D，A'D'⊥B'C'于D'
∵△ABC∽△A'B'C'
结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且,求四边形BCDE的面积.21世纪教育网版权所有
解：∵∠BAD=∠DAE，且
∴△ABC ∽△ADE .
∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9.
又∵△ABC的面积为100 cm2 ，
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2）
例3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可得EG//AB
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A
∴△GEC∽△ABC
即△ABC平移的距离为.
练习：
如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，
S△ABC＝20，求S△ADE.
解：∵△ADE∽△ABC
探究3：相似多边形的周长、面积和相似比的关系
已知如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k，它们的周长比是多少，面积之比分别是多少？www.21-cn-jy.com
解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
连接AC,A'C'
∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
∴△ABC∽△A'B'C',△ACD∽△A'C'D'
归纳：两个相似的n边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
练习：
1.若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ B ）
A.1:4 B.1:2 C.2:1 D.4:1
分析：两个相似的多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。故选B.
2.一个五边形的边长分别为2，3，4，5，6，和它相似的另一个五边形的最长边为24，则较大五边形的周长为__80___.www-2-1-cnjy-com
分析：根据题意得：较小的五边形与较大的五边形的相似比为1：4，分别计算出较大的五边形的边长为8，12，16，20，24，故其周长为80.2-1-c-n-j-y
三、拓展提高：
1.如图， ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF与△CDF周长之比；(3)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDF＝∠FEA，∠DCA＝∠FAE，
∴△AEF∽△CDF；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB,
而AE:EB=2：3，设AE=2a，则BE=3a，DC=5a,
∵△AEF∽△CDF，
解：∵△AEF∽△CDF，
∵△CDF的面积为20cm2，
如图，射线AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，点D，C分别在AM，BN上运动(点D不与A重合，点C不与B重合)，E是AB边上的动点(点E不与A，B重合)，在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD＋DE＝AB＝a.(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)设AE＝m，请探究：△BEC的周长是否与m的值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠AED＋∠BEC＝90°，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠AED＋∠EDA＝90°，
∴∠BEC＝∠EDA，
∴△ADE∽△BEC；
(2)解：△AED的周长=AE+AD+DE=a+m,BE=a-m，
设AD=x.则DE=a-x，
在Rt△ADE中，
由（1）知△ADE∽△BEC，
∴△BEC的周长与m的值无关.
四、课堂小结
相似三角形的性质:相似三角形周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.五、作业布置
习题4.12：知识技能第2，3两题
【板书设计】
§4.7 相似三角形的性质(2)
相似三角形的周长的关系 相似三角形的面积的关系 相似多边形的周长、面积和相似比的关系 例题练习
【教学反思】
本节课通过类比归纳，让学生发现其中的异同点，更好的理解并掌握相似三角形对应线段的比、周长的比等于相似比，面积比等于相似比是平方比，并能用来解决简单的问题。
通过此方法的探究，让学生能够更加清楚的知道在解决相似三角形的运算问题时，要灵活充分应用相似三角形的有关性质。同时，对培养学生由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力有很大的作用。
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一、选择题(本大题共10小题)
1.两个相似三角形的面积比为1：4，则它们的相似比为（ ）
A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.无法确定【来源：21cnj*y.co*m】
2.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A. B. C. D.21教育名师原创作品
3.如图所示，△ABC中，DE∥BC，若=，则下列结论中错误的是（ ）
A.= B.= C.= D.=
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，如果DE=2，BC=5，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=（ ）
A. B. C. D.
第3题 第4题 第5题 第6题
6.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=6，AD=4，则该四边形的面积为（ ）
A.9 B.12 C.8 D.8
7.如图，在△ABC中，AC=10，AB=8，直线l分别与AB，AC交于M，N两点，且l∥BC，若S△AMN：S△ABC=4：9，则AM+AN的长为（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16【来源：21·世纪·教育·网】
8.阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（ ）
A.4米 B.3.8米 C.3.6米 D.3.4米2-1-c-n-j-y
如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.
第7题 第8题 第9题
10.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）
A.3：2：1 B.5：3：1 C.25：12：5 D.51：24：1021教育网
二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)
11.已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ______ ．www.21-cn-jy.com
12.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，点D在边AB上，∠ACB=∠ADC，则AD的长为 ______ ．2·1·c·n·j·y
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=4，DB=3，BC=9，则DE的长为 ______ ．21*cnjy*com
14.如图，△ABC的面积为4cm2，D为AC的中点，则图中两块阴影部分的面积和为 ______ cm2．21·cn·jy·com
15.如图，已知△ABC中，DE∥BC，连接BE，△ADE的面积是△BDE面积的，则S△ADE：S△ABC= ______ ．21世纪教育网版权所有
第12题 第13题 第14题 第15题
三、解答题(本大题共5小题，共40.0分)
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．
【出处：21教育名师】
17.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
21·世纪*教育网
18.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．求这个正方形零件PQMN面积S．
19.已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为6和8，如图所示，分别采用（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由．
20.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
《相似三角形的性质》练习参考答案
一、选择题：
1. B
解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
故选：B．
2. A
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选：A．
3. C21cnjy.com
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，==，故A正确，
∴==，
∵=，
∴===，=，=，故B、D正确．
故选C．
4.Bwww-2-1-cnjy-com
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴；
故选：B．
5.A
解：∵AB∥CD，
∴，△APB∽△DPC，
∴AB：CD=AP：DP=AP：（AD-AP），
即4：7=AP：（10-AP），
∴AP=．
故选A．
6. A【版权所有：21教育】
解：∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AD=4，
∴CD=AD=4，
过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴=，
即=，
∴BC=8，
在Rt△ ABC中，AC===2，
∴DE===3，
∴四边形的面积为：AB AC+AC DE=×6×2+×2×3=9．
故选A．
7. B21*cnjy*com
解：∵l∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，==，
∴=，
∴，
∵AC=10，AB=8，
∴，
∴AM+AN=12，
故选B．
8.A
解：连接AE、BD，
∵光是沿直线传播的，
∴AE∥BD，
∴△BCD∽△ACE，
∴=
即=
解得：BC=4．
故选A．
9. B
解：∵AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∵AD=5，CD=3，DE=4，
∴AC=CD+AD=8，
∴，
∴AB=；
又CF为AB边上的中线，
∴F为AB的中点．
∴BF==．
故选B．
10.D
解：连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3-）ME，
∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH=K，
∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．
二、填空题：
解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，
∴较小三角形与较大三角形的相似比k==．
故答案为：．
12. 解：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC，
∴△ACB∽△ADC，
∴=，
∵AB=10，AC=8，
∴=，
则AD=6.4，
故答案为：6.4
13. 解：∵AD=4，DB=3，
∴AB=AD+DB=7，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，即=，
则DE=．
故答案为：．
14. 解：连结BD，如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AE：BAB=AD：AC，
∵D为AC的中点，
∴AC=2AD，
∴AB=2AE，即AE=BE，
∴S△ADE=S△BDE，
同理可得S△CDF=S△BDF，
∴两块阴影部分的面积和=S△ABC=×4=2（cm2）．
故答案为2．
15. 解：∵△ADE的面积是△BDE面积的，
∴=，
∴=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=（）2=，
故答案为：1：9．
三、解答题：
16.证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD BD=2×4=8，
∴CD=2．
17.（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
18.解：PN与AD交于点E，如图，设MN=xmm，
易得四边形MNED为矩形，则ED=MN=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴=，即=，
∴PN=（80-x），
∵PN=MN，
∴（80-x）=x，
解得x=48．
故正方形零件PQMN面积S为：48×48=2304（mm2）．
答：正方形零件PQMN面积S是2304mm2．
19.解：图1中，设DE=CD=EF=CF=x，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴x=，
图2中，作CM⊥AB垂足为M交DE于N．设正方形DEFG边长为y．
在RT△ABC中，∵AC=8，BC=6， ∴AB==10，CM==4.8，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴y=．
∵x＞y，
∴图1中正方形面积大，
故图1的剪法较为合理．
20.解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴=，设BD=x，
∴（）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=-1，
∵△BCD∽△BAC，
∴==，
∴CD=×2=-．
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北师大版九年级上册
第七节：相似三角形的性质
第四章：图形的相似
第一课时
相似三角形中的对应线段之比
复习回顾
(1)什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.
探究新知
已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k.
（1）如果AD和A'D'是它们的对应高，那么AD:A'D'等于多少？
（2）如果AF和A'F'是它们的对应角平分线，那么AF:A'F'等于多少？如果AE和A'E'是它们的对应中线呢？
相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
A′
B′
C′
D′
D
A
B
C
探究1
右图△ABC，AD为BC边上的高，
则利用方格把三角形扩大2倍，得△A'B'C'，并作出B'C'边上的高A'D'。问题1：△ABC与△A'B'C'的相似比为多少
问题2：AD与A'D'有什么关系？
归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠C=∠C'
∵∠ADC=∠A'D'C'
∴△ADC∽△A'D'C'
问题3：如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的高有什么关系呢？
说说你判断的理由是什么？
相似三角形对应角的角平分线的关系
A
B
C
F
A′
B′
C′
F′
探究2
如右图△ABC,AF为∠A的角平分线。则把三角形扩大2倍后得△A'B'C'，A'F'为∠ B'A'C'的角平分线， 问题1：△ABC与△A'B'C'的相似比为多少？
问题2：AF与A'F'比是多少？
问题3：如右图两个相似三角形相似比为k，则对应角的角平分线的比是多少呢？
归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。
说说你判断的理由是什么？
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠C=∠C'，∠BAC=∠B'A'C'
∵AF,A'F'分别是∠BAC,∠B'A'C'的角平分线
∴∠FAC=∠F'A'C'
∵∠C=∠C'
∴△FAC∽△F'A'C'
相似三角形对应边上的中线的关系
A
B
C
E
A′
B′
C′
E′
探究3
如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。（1）则把三角形扩大2倍后得△A'B'C',A'E'为B'C'边上的中线。
问题1：△ABC与△A'B'C'的相似比为多少？
问题2：AE与A'E'比是多少？
问题3：如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的中线的比是多少呢？
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠C=∠C'
归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。
说说你判断的理由是什么？
∵E,F分别是BC，B'C'的中点，
∵∠C=∠C'
∴△ACE∽△A'C'E'
相似三角形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。
注意：
1、要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
2、反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点.
3、 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.
探究新知
探究新知
如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上，点D',E'在B'C'边上.
解：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠BAC=∠B'A'C',∠B=∠B'
∴∠BAD=∠B'A'D'
∴△ABD∽△A'B'D'
解：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B'
∴△ABE∽△A'B'E'
探究总结
已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上，点D',E'在B'C'边上.
例题讲解
例1.若△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高，AD: A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条角平分线B′E′＝16 cm，则△ABC与之对应的角平分线BE＝____cm.
解：根据相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比，可得
9
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
例2.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
例3.如图， AD是△ABC的高AD=h，点R在AC边上,点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为 E,当 时，求DE的长。如果
呢？
解：∵SR⊥AD,BC⊥AD，
∴SR//BC，
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC
1.两个相似三角形的相似比为 ,则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________.
2.两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三角形的对应角平分线的比为_____ ，对应边上的高的比为____，对应边上的中线的比为___.
巩固练习
理由：相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。
3.如图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度为________ cm.
分析：∵△ABO∽△CDO
又∵AB=36
∴CD=16．
16
4.如图，已知△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，已知AC＝6，BC＝4.2，DF＝2，求BE的长．
解：∵E，F分别为AC，BC的中点
∴BE和DF分别是△ABC和△CDB的中线
又∵△ABC∽△BDC
拓展应用
如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出求解过程．
分析：先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．
解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
故电线杆的高度为9m.
课堂小结
相似三角形
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
都等于相似比
定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
课后作业
习题4.11：知识技能第1，3两题
第二课时
相似三角形中的周长及面积之比
填空：
已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2，则这两个三角形的对应角平分线的比为_____ ，对应边上的高的比为____，对应边上的中线的比为_____ .
复习回顾
问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
2
2
2
相似三角形的周长的关系
探究1
下图（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
问题2.图（2）与图（1）的三角形的周长比为_____,图（3）与图（1）的周长比为______；
问题1.图（2）与图（1）的三角形的相似比为_____,图（3）与图（1）的相似比为______；
2：1
2：1
3：1
3：1
从上面可以看出当相似比＝k时，周长比=______
猜想：相似三角形的周长比等于相似比。
k
验证猜想：相似三角形周长的比等于相似比。
已知：△ABC∽△A'B'C'
求证：
证明：
∴
∴
A
C
B
B′
A′
C′
∵△ABC∽△A'B'C'
结论：相似三角形周长的比等于相似比。
A
C
B
B′
A′
C′
∵△ABC∽△A'B'C'
例题1
如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，已知△ABC的周长为20 cm，求△DEF的周长．
解：∵点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点
∴△EFD∽△ABC
练习1
1．若△ABC∽△A1B1C1(其中点A和A1，B和B1，C和C1分别对应)，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )
A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2
C
分析：相似三角形的周长比等于相似比。
2.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，且AB＝3AD，已知△ADE的周长
为6 cm，则△ABC的周长为________cm.
分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；
∴C△ADE：C△ABC=AD：AB=1：3；
∴C△ABC=3C△ADE=18．
18
相似三角形的面积的关系
探究2
下图（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
问题2.图（2）与图（1）的三角形的面积比为_____,图（3）与图（1）的面积比为______；
问题1.图（2）与图（1）的三角形的相似比为_____,图（3）与图（1）的相似比为______；
4：1
2：1
3：1
9：1
从上面可以看出当相似比＝k时，面积比=______
猜想：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
验证猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
求证：
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
证明：
分别过A、A′，作
AD⊥BC于D，A'D'⊥B'C'于D'
∵△ABC∽△A'B'C'
已知：△ABC∽△A'B'C'
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A
B
C
A′
B′
C′
∵△ABC∽△A'B'C'
如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且
求四边形BCDE的面积.
∴△ABC ∽△ADE .
∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9.
又∵△ABC的面积为100 cm2 ，
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
解：∵∠BAD=∠DAE，且
B
A
E
D
C
例题2
例题3
如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可得EG//AB
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A
∴△GEC∽△ABC
即△ABC平移的距离为
练习2
如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE.
解：∵△ADE∽△ABC
探究3
相似多边形的周长、面积和相似比的关系
已知如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k，它们的周长比是多少，面积之比分别是多少？
解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
相似四边形的周长之比等于相似比.
连接AC,A'C'
∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
∴△ABC∽△A'B'C',△ACD∽△A'C'D'
相似四边形的面积之比等于相似比的平方.
归纳：两个相似的n边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
两个相似四边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,那么相似五边形呢？
同理可证五边形的周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方。
练习3
1.若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A.1:4 B.1:2 C.2:1 D.4:1
2.一个五边形的边长分别为2，3，4，5，6，和它相似的另一个五边形的最长边为24，则较大五边形的周长为_____.
分析：两个相似的多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。故选B.
B
分析：根据题意得：较小的五边形与较大的五边形的相似比为1：4，分别计算出较大的五边形的边长为8，12，16，20，24，故其周长为80.
80
拓展提高
1.如图， ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.
(1)求证：△AEF∽△CDF；
(2)求△AEF与△CDF周长之比；
(3)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，
∴∠CDF＝∠FEA，∠DCA＝∠FAE，∴△AEF∽△CDF；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB,
而AE:EB=2：3，设AE=2a，则BE=3a，DC=5a,
∵△AEF∽△CDF，
(3)解：∵△AEF∽△CDF，
∵△CDF的面积为20cm2，
2.如图，射线AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，点D，C分别在AM，BN上运动(点D不与A重合，点C不与B重合)，E是AB边上的动点(点E不与A，B重合)，在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD＋DE＝AB＝a.
(1)求证：△ADE∽△BEC；
(2)设AE＝m，请探究：△BEC的周长是否与m的值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．
(1)证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠AED＋∠BEC＝90°，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠AED＋∠EDA＝90°，
∴∠BEC＝∠EDA，
∴△ADE∽△BEC；
(2)解：△AED的周长=AE+AD+DE=a+m,BE=a-m，
设AD=x.则DE=a-x，
在Rt△ADE中，
由（1）知△ADE∽△BEC，
∴△BEC的周长与m的值无关.
课堂小结
相似三角形的性质:
相似三角形周长比等于相似比；
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
课后作业
习题4.12：知识技能第2，3两题
谢谢！
