1.1.1和1.1.2 变化率问题、导数的概念 课件1

课件53张PPT。第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式： =____________.
(2)实质：_______的改变量与_______的改变量之比.
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的_____.函数值自变量快慢2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率平均变化率某一点3.导数的概念 f′(x0)瞬时变化率1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.( )
(3)在导数的定义中，Δx，Δy 都不可能为零.( )【解析】(1)正确.函数y=f(x)在x=x0处的导数值是一个固定值，与Δx值的正、负无关，Δx值可正，可负.
(2)错误.刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的是平均变化率.
(3)错误.Δx不能为零，Δy可能为零.
答案：(1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是_______.
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是________.
(3)函数y=f(x)= 在x=-1处的导数可表示为________.【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是
答案：2
(3)函数y=f(x)= 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
y′|x=-1.
答案：f′(-1)或y′|x=-1. 【要点探究】
知识点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.对平均变化率的四点说明
(1)函数f(x)在x1处有定义.
(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx=x2-x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负.(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx=x2-x1，则
Δy=f(x2)-f(x1)；若Δx=x1-x2，则Δy=f(x1)-f(x2).
(4)在公式 中，当x1取定
值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 =0.2.对平均变化率的三点说明
(1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在
区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平
均变化率的“视觉化”．
(2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线的斜率.
(3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，
在时间段[t1，t2]上的平均速度，即【知识拓展】认识两个增量
正确理解平均变化率的概念，首先要把握好两个增量.一是自变量的增量.习惯上用Δx表示x2-x1，即Δx=x2-x1.Δx看作自变量相对于x1的一个增量.二是函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1).如上所说，令Δx=x2-x1，则Δy又可写为：f(x1+Δx)-f(x1)，此即函数值在x1处的增量.【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线y=f(x)在区间[x1，x2]上的“陡峭”程度有什么关系？
提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.
(2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明.
提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).【即时练】
1.自变量x从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A.在区间[x0，x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化量
D.在区间[x0，x1]上的导数
2.函数y=x2-2x+3在x=2附近的平均变化率是________.【解析】1.选A.当自变量由x0变化到x1时，自变量的“增量”为x1-x0，对应的函数值的“增量”为f(x1)-f(x0)，比值
为函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．故选A.2.因为Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+3-(22-2×2+3)=(Δx)2+2Δx，
所以
答案：Δx+2知识点2 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率及导数
1.对瞬时速度的两点说明
(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.
(2)当Δt在变化中趋近于0时，比值 趋近于一个确定的常数，这时此常数称为t0时刻的瞬时速度.2.对瞬时变化率的两点说明
(1)平均变化率与瞬时变化率的关系：
①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；
②联系：当Δx趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)“Δx无限趋近于0”的含义：
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.3.对导数概念的两点说明
(1)当Δx≠0时，比值 的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若 的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数.
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
或f′(x0)=
4.导数的物理意义
不同的物理量有着不同的物理意义.例如，变速直线运动路程s=s(t)的导数，就是速度，即s′(t0)=v(t0).我们也常说路程函数s(t)对时间的导数就是速度.【微思考】
(1)匀速直线运动的瞬时速度和平均速度相等吗？
提示：因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为零，所以瞬时速度和平均速度相等.
(2)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？
提示：不一定，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度，当物体在某一时间段做匀速直线运动时，可以反映.【即时练】
1.已知f′(x0)=a，则 的值为( )
A．-2a B．2a C．a D．-a
2.物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)=
3t2+t．我们计算在t时刻的附近区间[t，t+Δt]内的平均速
度 =________，当Δt趋近于0时，平均速度
趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t时刻的瞬时速度
为_________．【解析】1.选B.若f′(x0)=a，
则
所以2.因为物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t，所以在t时刻的附近区间[t，t+Δt]内的平均速度
所以s′(t)=6t+1.
答案：6t+1+3Δt 6t+1【题型示范】
类型一 求函数的平均变化率
【典例1】(1)函数y=x2+1在[1，1+Δx]上的平均变化率是(　　)
A.2　　　B.2x　　　C.2+Δx　　　D.2+(Δx)2
(2)求y=2x2+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率，并求x0=1，Δx= 时函数的平均变化率的值.【解题探究】1.题(1)中函数y=f(x)在[1，1+Δx]上自变量与函数值的改变量各是什么？
2.题(2)中，Δy的表达式是什么？
【探究提示】1.自变量的改变量Δx=(1+Δx)-1，函数值的改变量Δy=f(1+Δx)-f(1).
2.Δy的表达式为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).【自主解答】(1)选C.
(2)当自变量从x0变到x0+Δx时，函数的平均变化率为
当x0=1，Δx= 时，函数的平均变化率的值为4×1+2× =5.【方法技巧】
1.求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx=x2-x1.
第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1).
第三步，求平均变化率
2.求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用 的形式.【变式训练】设函数f(x)=x2-1，求：
(1)当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量Δx.
(2)当自变量x由1变到1.1时，函数的增量Δy.
(3)当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率.
【解析】(1)Δx=1.1-1=0.1.
(2)Δy=(1.12-1)-(12-1)=0.21.
(3)【补偿训练】已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=f(t)= gt2，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒…各段时间内的平均速度(g=9.8m/s2).
【解题指南】先求出Δs，再求出 即为各段时间内的平均速度.【解析】设Δt=(t+d)-t指时间改变量，Δs=f(t+d)-f(t)指位移改变量．
则Δs=f(t+d)-f(t)= g(t+d)2- gt2=gtd+ gd2，
所以t从3秒到3.1秒的平均速度 =29.89(m/s)；
t从3秒到3.001秒的平均速度 =29.404 9(m/s)；
t从3秒到3.000 1秒的平均速度 =29.400 49(m/s).类型二 求瞬时速度
【典例2】(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)=v0t- gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________.
(2)某物体的运动方程为s=2t3，则物体在第t=1时的瞬时速度是________.【解题探究】1.题(1)中运动物体的瞬时速度与平均速度有什么关系？
2.题(2)中Δs如何计算？
【探究提示】1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极限.
2.Δs=2(t+Δt)3-2t3.【自主解答】(1)因为Δs=v0(t0+Δt)- g(t0+Δt)2-(v0t0-
gt02)=(v0-gt0)Δt- g(Δt)2，
所以 =v0-gt0- gΔt，
所以当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于v0-gt0，
故物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0.
答案：v0-gt0(2)t=1时，Δs=2(1+Δt)3-2×13
=2[1+(Δt)3+3Δt+3(Δt)2]-2
=2+2(Δt)3+6Δt+6(Δt)2-2
=2(Δt)3+6(Δt)2+6Δt
所以物体在第t=1时的瞬时速度是6.
答案：6【延伸探究】若把题(1)中的“v0”改为“v0=20”，求物体在t=3时刻的瞬时速度.
【解析】因为Δs=20(3+Δt)- g(3+Δt)2-(20×3- ×32g)
=(20-3g)Δt- g(Δt)2，
所以
所以当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于20-3g，
故物体在t=3时刻的瞬时速度为20-3g.【方法技巧】
1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于常数v，即为瞬时速度.
2.求 (当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算.
(2)求出 的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx=0，求出结果即可.【变式训练】一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
并说明它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题指南】先求Δs，再求 ，然后求速度.
【解析】自由落体的运动公式是s= gt2(其中g是重力加速度)，
Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32
=29.4Δt+4.9(Δt)2，
=29.4+4.9Δt.
所以
说明在第3秒附近小球以29.4 m/s的速率下降.【补偿训练】有一个光滑斜面与水平桌面成α角，设有一质点在t=0时，从斜面的顶点A处开始由静止状态自由释放，如图所示.如果忽略摩擦力，斜面的长度s=300cm，α=65°.求T=0.1，0.2，0.3，…，1.0s时质点的速度.【解析】由于斜面的长度s=300 cm，α=65°，则质点在斜面上运动时，它的加速度a=gsin 65°，又由位移公式s= at2
= gsin αt2，取s=300，得：
所以在1秒时质点仍在斜面上运动，所以T=0.1，0.2，0.3，…，1.0 s时质点的速度分别为：0.1gsin 65°，0.2gsin 65°，…，gsin 65°.类型三 求函数在某点处的导数
【典例3】(1)函数y= 在x=1处的导数为______.
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3，
①当t1=4，Δt=0.01时，求Δy和比值
②求t1=4时的导数.【解题探究】1.题(1)中，当x=1时，Δy等于什么？
2.题(2)中①Δy如何计算？②计算 的值能不能将Δt=0直接代入 的化简式子中？
【探究提示】1.当x=1时，
2.①Δy=f(t1+Δt)-f(t1)；②可以将Δt=0直接代入 的化简式子中进行计算.【自主解答】(1)Δy=
所以 y′|x=1=
答案：(2)①Δy=f(t1+Δt)-f(t1)=3t12·Δt+3t1·(Δt)2+(Δt)3，故当t1=4，Δt=0.01时，Δy=0.481 201， =48.120 1.
② [3t12+3t1·Δt+(Δt)2]= 3t12=48，
故函数y=t3+3在t1=4处的导数是48，即【方法技巧】
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限.2.瞬时变化率的变形形式
=f′(x0).【变式训练】若 则f′(x0)等于____.
【解析】
=1，
所以f′(x0)=
答案：【补偿训练】求函数y=x- 在x=1处的导数．
【解题指南】求 的极限时，要对 进行化简，确保Δx趋于0时 有意义.
【解析】因为Δy=(1+Δx)- -(1- )
=
所以
当Δx →0时， →2，
所以函数y=x- 在x=1处的导数为2.【易错误区】对导数的概念理解不清致误
【典例】若函数f(x)在x=a的导数为m，那么
的值为________.【解析】
=2m+2m
=4m.
答案：4m【常见误区】【防范措施】
弄清导数的含义
函数在某一点的导数，是该点函数平均变化率的极限，函数在某一点自变量的增量，既可以是正数，也可以是负数，导数是函数值的改变量与“相应”自变量改变量比值的极限，如本例中 与 均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式. 【类题试解】若f′(x0)=m，则
=( )
【解析】选B.因为 =
所以选B.