1.2.2 导数的运算法则 课件1

课件49张PPT。1.2.2
导数的运算法则1.导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的.
(2)结论：①[f(x)±g(x)]′=_______________.
②[f(x)g(x)]′=______________________.
③[ ]′=_________________________.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)2.复合函数的求导公式
(1)复合函数的定义：①一般形式是__________.
②可分解为_______与_______，其中u称为_________.
(2)求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：y′x=__________.y=f(g(x))y=f(u)u=g(x)中间变量y′u·u′x1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x)=2x，则f(x)=x2.(　　)
(2)函数f(x)=xex的导数是f′(x)=ex(x+1).(　　)
(3)函数f(x)=sin(-x)的导数为f′(x)=cosx.(　　)【解析】(1)错误，f(x)=x2+c(c为常数).
(2)正确，f(x)=(xex)′=ex+xex=ex(x+1).
(3)错误，f′(x)=cos(-x)(-x)′=-cosx.
答案：(1)×　(2)√　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若f(x)=2x+3，则f′(x)=__________.
(2)函数f(x)=2sinx-cosx，则f′(x)=__________.
(3)函数f(x)= ，则f′(x)=________.【解析】(1)f′(x)=2.
答案：2
(2)f′(x)=2cosx-(-sinx)
=2cosx+sinx.
答案：2cosx+sinx
(3)f′(x)=
= .
答案： 【要点探究】
知识点1 导数的四则运算法则
1.导数的运算法则的形式特点
(1)两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差.该特点可以推广到多个函数的情形.
(2)导数的加减法则，就是把每一个函数都求导然后再相加减.
(3)导数的乘法法则中两个式子中间是加号，导数的除法法则中分子上的两个式子之间是减号，因此要注意两个函数的位置关系.2.应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算.
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导.
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程.【微思考】
(1)函数f(x)与g(x)(g(x)≠0)的商的导数能否看成f(x)与
的乘积的导数？
提示：可以，
而
所以(2)能否利用导数运算法则求出函数y=tan x的求导公式？
提示：y′=(tan x)′=【即时练】
1.f(x)=2(x-3)(x2+1)，则f′(x)=______.
2.函数y= 导数为______.
【解析】1.f(x)=2x3-6x2+2x-6，f′(x)=6x2-12x+2.
2.
答案：1.6x2-12x+2 2. 知识点2 复合函数的导数
复合函数求导的一般方法
(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量.
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量.
(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导.【知识拓展】复合函数导数运算法则证明
设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x)，
函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，
则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x=f′(u)·u′(x).
证明：设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy.
因为u=φ(x)在点x处可导，所以u=φ(x)在点x处连续，
因此当Δx→0时，Δu→0.当Δu≠0时， 且
故
即y′x=f′(u)·u′(x).···【微思考】
(1)要求函数 的导数，应该把它看成由什么函数构成的复合函数？求导步骤怎样？
提示：应该看成由y= 和u=x2+x两函数复合形成的.求导时先求y′u= ，再求u′x=2x+1.
然后相乘即y′=
(2)在不确定变量的情况下能否对函数y=tx2+t求导数？t为变量和x为变量的求导结果是否一样？
提示：不能，当t为变量时y′=x2+1，当x为变量时y′=2tx.·【即时练】
1.y=sin 2x，则y′=_______.
2.函数 的导数为_______.
【解析】 1.y′=cos 2x·(2x)′=2cos 2x.
2.
答案：1.2cos 2x 2.·【题型示范】
类型一 应用导数的四则运算法则求导
【典例1】(1)设f(x)=(2x-1)(3-x)，则f′(0)=________.
(2)y=x·sinx·lnx.【解题探究】1.题(1)中一般如何求f′(x).
2.题(2)中如何求3项积的导数？
【探究提示】1.一般先展开，利用和差的导数运算法则求导，但也可用积的导数运算法则求导.
2.当式中有3项或多于3项的积时，一般把其中的两项看成一项求导.【自主解答】(1)方法一：因为f(x)=-2x2+7x-3，
所以f′(x)=-4x+7，所以f′(0)=7.
方法二：因为f′(x)=(2x-1)′(3-x)+(2x-1)(3-x)′
=2(3-x)+(2x-1)(-1)
=7-4x，
所以f′(0)=7.
答案：7(2)y′=(x·sinx·lnx)′=[(x·lnx)·sinx]′
=(x·lnx)′·sinx+(x·lnx)·(sinx)′
=(1·lnx+x· )·sinx+(x·lnx)·cosx
=lnx·sinx+sinx+x·lnx·cosx，
所以y′=sinx+lnx·sinx+x·lnx·cosx.【方法技巧】求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.【变式训练】求f(x)=-ln x+ 的导数.
【解析】f′(x)=(2x-2-ln x)′=2(-2)x-3- =【补偿训练】若 则y′=( )
【解析】选A.因为
所以类型二 复合函数的导数运算
【典例2】(1)若函数f(x)= 的导数为f′(x)，则f′(1)=_________.
(2)求下列函数的导数
①
②【解题探究】1.题(1)中的函数可以看成是由哪些基本函数复合而成？
2.对题(2)①中的函数求导应该按照怎样的步骤进行？
【探究提示】1.可以看成由幂函数y=u-4和一次函数u=1-3x复合而成的.
2.由于 是两个函数 与y=cos x的乘积，而其中 又是复合函数，所以在对此函数求导时可分两步进行，第一步应先用乘积求导法则进行求导，第二步再利用复合函数求导法则对 求导.【自主解答】(1)y=f(x)= =(1-3x)-4．
设y=u-4，u=1-3x，则
f′(x)=y′x=y′u·u′x=(u-4)′u·(1-3x)′x
=-4u-5·(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=
f′(1)=
答案：(2)①y= cos x，
由于y= cos x是两个函数y= 与y=cos x的乘积，
y′=( )′cos x - sin x②令y=3u，u=log2v，v=x2-2x+3，
则y′u=3uln 3，u′v=
v′x=2x-2，
所以y′x=··【延伸探究】在本例(2)①中，将cos x换为sin x，当x=0时其导数值是多少？
【解析】
y′=( )′sin x+ cos x
当x=0时，y′=1.【方法技巧】
1.求复合函数的导数的步骤2.求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数.
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点.【变式训练】求 的导数．
【解题指南】先把原函数看成是幂函数，再利用商的导数公式对内层函数求导.
【解析】···【补偿训练】求 的导数.
【解析】令y=u3，u=sin v，v=2x+
则y′u=3u2，u′v=cos v，v′x=2，
所以类型三 与切线有关的综合问题
【典例3】(1)函数y=2cos2x在x= 处的切线斜率为____.
(2)已知函数f(x)=ax2+ln x的导数为f′(x)，
①求f(1)+f′(1).
②若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围.【解题探究】1.题(1)中函数的导数是什么？
2.题(2)中，由曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，能得到什么结论？
【探究提示】1.y′=(1+cos 2x)′=-2sin 2x.
2.存在x(x>0)使f′(x)=0.【自主解答】(1)由函数y=2cos2x=1+cos 2x，得y′=(1+
cos 2x)′=-2sin 2x，所以函数在 处的切线斜率为
-2sin(2× )=-1.
答案：-1
(2)①由题意，函数的定义域为(0，+∞)，
由f(x)=ax2+ln x，得f′(x)=2ax+
所以f(1)+f′(1)=3a+1.②方法一：因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x>0范围内导函数f′(x)=2ax+ 存在零点，
即f′(x)=0?2ax+ =0有正实数解，
即2ax2=-1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是
(-∞，0).方法二：因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x>0范围内导函数f′(x)=2ax+ 存在零点，
即f′(x)=0? =-2ax有正实数解，
令y= ，y=-2ax，
当a=0时，曲线y= 与直线y=0无交点；
当a>0时，曲线y= 与直线y=-2ax无交点；
当a<0时，曲线y= 与直线y=-2ax有交点.
所以实数a的取值范围是(-∞，0).【方法技巧】关于复合函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.
(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔ 若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，
若曲线y=ax2+ (a，b为常数)过点P(2，-5)，且该曲线在点
P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是______.【解析】曲线y=ax2+ (a，b为常数)过点P(2，-5)，
则有4a+ =－5，
又该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，
由y′=2ax－ 得
联立两式解得 则a+b=－3.
答案：－3【补偿训练】曲线f(x)=
在点(1，f(1))处的切线方程为________.
【解析】由已知得f(0)=
所以
所以f′(x)=
所以f′(1)= 即f′(1)=e，
从而f(x)=ex-x+ x2，f′(x)=ex-1+x，
所以f(1)=e- ，f′(1)=e，
故切线方程为y-(e- )=e(x-1)，即y=ex- .
答案：y=ex- 【易错误区】对复合函数求导因为层次不清而致误
【典例】函数y=sinnxcosnx的导数为__________.
【解析】y′ =(sinnx)′cosnx +sinnx(cosnx)′
=nsinn-1x(sinx)′cosnx+sinnx(-sinnx)·(nx)′
=nsinn-1xcosx·cosnx-sinnxsinnx·n
=nsinn-1x(cosxcosnx-sinxsinnx)
=nsinn-1xcos[(n+1)x].
答案：nsinn-1xcos[(n+1)x]【常见误区】【防范措施】
熟悉复合函数及其求导法则
　　对较复杂函数求导时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数.如本例中的函数sinnx由y=un及u=sinx复合而成，cosnx由t=nx及y=cost复合而成.【类题试解】函数y=cos 2x+sin 的导数为( )
【解析】选A.y′=-sin 2x·(2x)′+cos ·( )′=
-2sin 2x+ · cos =-2sin 2x+