1.3.1 函数的单调性与导数 课件2

课件53张PPT。1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.1　函数的单调性与导数1.函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y=f(x)增减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a，b)上快陡峭慢平缓1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.(　　)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.(　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.(　　)【解析】1.(1)错误.如函数f(x)=- 在定义域上都有f′(x)=
>0，但函数f(x)在定义域上不是单调递增的.
(2)错误.函数在某一点的导数的绝对值越大，函数在该点处的切线斜率的绝对值越大，切线越“陡峭”.
(3)正确.函数变化越快，对应的导数的绝对值越大.
答案：(1)×　(2)×　(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y=x3+x在(-∞，+∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的.
(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为____________.
(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是____________.【解析】(1)由于y′=3x2+1>0对于任何实数恒成立，所以函数y=x3+x在(-∞，+∞)上是增函数，则图象是上升的.
答案：上升
(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立，
则
得a>0，且b2≤3ac.
答案：a>0，且b2≤3ac(3)令y′=3x2+2x-5>0，
得x< 或x>1.
答案：(-∞， )，(1，+∞)【要点探究】
知识点 函数的单调性与导数
1.对函数的单调性与其导数正负的关系的三点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
(3)特别地，在某个区间内如果f′(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题
(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.
(3)单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.【微思考】
(1)函数y=f(x)是定义在R上的增函数，f′(x)>0是否一定成立？
提示：不一定成立.例如，y=x3在R上是增函数，但其在0处的导数为零，故f′(x)>0是y=f(x)在某区间上是增函数的充分不必要条件.(2)函数y=x2与y=x3在y′=0的点是函数的临界点吗？
提示：因为函数y=x2的导数是y′=2x，在y′=0的点左边和右边导数符号不同，是函数单调递增与单调递减的临界点；而函数y=x3的导数是y′=3x2，在y′=0的点左边和右边导数符号相同，不是函数单调递增与单调递减的临界点.【即时练】
设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由f′(x)<0能够推出f(x)在(a，b)内单调递减，但由f(x)在(a，b)内单调递减不能推出f′(x)<0，如f(x)=-x3在R内为减函数，而f′(x)=-3x2≤0.故为充分不必要条件.【题型示范】
类型一 利用导数判断函数的单调性
【典例1】(1)函数y=f(x)的图象如图所示，给出以下说法：①函数y=f(x)的定义域是[-1，5]；
②函数y=f(x)的值域是(-∞，0]∪[2，4]；
③函数y=f(x)在定义域内是增函数；
④函数y=f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的是(　　)
A.①②　　　B.①③　　　C.②③　　　D.②④
(2)证明：f(x)=ex+ 在(0，+∞)上是增函数.【解题探究】1.题(1)中根据图象如何确定函数的定义域和值域？函数的单调性如何？
2.题(2)中利用导数证明函数在某区间上是增函数的关键是什么？
【探究提示】1.根据图象在x轴上的投影对应的为定义域，在y轴上的投影对应的为值域，由于图象为上升的，故在[-1，3]和(3，5]上为增函数.
2.要证明函数在某区间上是增函数，只需证明f′(x)>0或f′(x)≥0，但在任何区间上f′(x)不恒为0.【自主解答】(1)选A.由图可知f(x)的定义域为[-1，3]∪(3，5]=[-1，5]，所以①对.f(x)值域为(-∞，0]∪[2，4]，所以②正确.f(x)在[-1，3]和(3，5]上是增函数，但在定义域内不是增函数，所以③错.由于函数y=f(x)在x=3时的导数不存在，故④错.故选A.
(2)因为f(x)=ex+ ，所以f′(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1)，
当x∈(0，+∞)时，由指数函数的性质知e-x>0，e2x>1，所以f′(x)>0，因此函数f(x)=ex+ 在(0，+∞)上是增函数.【方法技巧】利用导数证明或判断函数单调性的思路【变式训练】下列函数中，在(0，+∞)上是增函数的是(　　)
A.y=sin2x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=-x+lnx
【解析】选B.(sin2x)′=2cos2x，
x∈(0，+∞)时cos2x≥0不恒成立，
(xex)′=ex+x·ex=ex(x+1).
当x∈(0，+∞)时，ex(x+1)>0，
(x3-x)′=3x2-1在(0，+∞)上不恒大于等于零.
(-x+lnx)′=-1+ ，
在x∈(0，+∞)上不恒大于等于零，故选B.【补偿训练】求证：函数y=2x3+3x2-12x+1在区间(-2，1)内是减函数.
【解题指南】先求出函数的导数，然后判断导数在此区间上的符号即可.
【证明】因为y′=6x2+6x-12
=6(x2+x-2)=6(x-1)(x+2)，
当x∈(-2，1)即-2所以函数y=2x3+3x2-12x+1在区间(-2，1)内是减函数.类型二 利用导数求函数的单调区间
【典例2】(1)函数f(x)=ex-ex，x∈R的单调递增区间为(　　)
A.(0，+∞) B.(-∞，0)
C.(-∞，1) D.(1，+∞)
(2)已知函数y=x+ ，试讨论此函数的单调区间.【解题探究】1.题(1)中利用导数求函数的单调区间，先求什么？
2.题(2)中讨论函数的单调区间，先求什么？
【探究提示】1.用导数求函数的单调区间，先求函数的导数.
2.讨论函数的单调区间，先求定义域.【自主解答】(1)选D.f′(x)=ex-e，令f′(x)>0得x>1，
所以函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞).故选D.
(2)y′=(x+ )′=1-
=
令 ＞0，解得x＞1或x＜-1.
所以y=x+ 的单调增区间是(-∞，-1)和(1，+∞).
令 ＜0，解得-1＜x＜0或0＜x＜1.
所以y=x+ 的单调减区间是(-1，0)和(0，1).【方法技巧】求函数y=f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y′=f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间.
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间.【变式训练】函数f(x)=lnx-x的单调递增区间是(　　)
A.(-∞，1) B.(0，1)
C.(0，+∞) D.(1，+∞)
【解析】选B.f′(x)= ，令f′(x)＞0得0＜x＜1，所以函数f(x)=ln x-x的单调递增区间是(0，1).【补偿训练】函数f(x)=
在区间(-2，2)上( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先单调递增后单调递减
D.先单调递减后单调递增【解析】选B.求导函数得：f′(x)=x2-x-6，令f′(x)<0，可得x2-x-6<0，所以-2在区间(-2，2)上单调递减，故选B. 类型三 利用导数求参数的取值范围
【典例3】(1)已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的取值范围是___________.
(2)若函数f(x)= 在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，+∞)上为增函数，试求实数a的取值范围.【解题探究】1.题(1)中函数y=f(x)在某个区间上不单调指的是什么？
2.题(2)中函数f(x)在(1，4)内为减函数，应满足什么条件？
【探究提示】1.函数y=f(x)在某个区间上不单调指的是在这个区间上既有增区间又有减区间或为常数函数，即导函数在这个区间上有零点.
2.满足的条件是f′(x)≤0.【自主解答】(1)因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍去，所以k>0.
令f′(x)=0，则x=
因为在(-3，-1)上函数不单调，
所以-3< <-1，即3答案：3【解析】由f′(x)=3x2-k，显然不存在实数k使f′(x)<0恒成立，若f′(x)≥0，即3x2-k≥0在R上恒成立，只需k≤0，所以k的取值范围是(-∞，0].
答案：(-∞，0]【方法技巧】
1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意.
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.【变式训练】若函数f(x)=- x2+alnx在区间(1，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，1] D.(-∞，1)
【解题指南】求出f(x)的导函数，令导函数小于等于0在区间(1，+∞)上恒成立，分离出a，然后利用恒成立问题的思路，求出a的范围.【解析】选C.f′(x)=-x+ ，因为f(x)在区间(1，+∞)上是减
函数，所以f′(x)=-x+ ≤0在区间(1，+∞)上恒成立，所以
a≤x2在区间(1，+∞)上恒成立，因为x2＞1，所以a≤1.故选C.【补偿训练】已知函数f(x)=ax-x3，对区间(0，1)上的任意x1，x2，且x1x2-x1成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(0，1) B.[4，+∞)
C.(0，4] D.(1，4]
【解题指南】先确定函数f(x)在区间(0，1)上f′(x)≥1，再求导函数，利用分离参数法，即可求实数a的取值范围.【解析】选B.因为对区间(0，1)上的任意x1，x2，且x1x2-x1成立，所以函数f(x)在区间(0，1)上有f′(x)≥1，因为f(x)=ax-x3，所以f′(x)=a-3x2，所以a-3x2≥1在区间(0，1)上恒成立，所以a≥4.故选B.拓展类型 利用导数求解不等式问题
【备选典例】(1)函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2013，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2+2009的解集为
(　　)
A.(-2，2) B.(-2，+∞)
C.(-∞，-2) D.(-∞，+∞)(2)①证明：当x∈[0，1]时， x≤sin x≤x.
②若不等式 对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)选C.令g(x)=f(x)-x2-2009，
则g′(x)=f′(x)-2x<0，所以函数g(x)在R上单调递减，而
f(-2)=2013，所以g(-2)=f(-2)-(-2)2-2009=0.
所以不等式f(x)>x2+2009，可化为g(x)>g(-2)，
所以x<-2.即不等式f(x)>x2+2009的解集为(-∞，-2).故选C.(2)①记F(x)=sin x- x，
则F′(x)=cos x- ．
当x∈(0， )时，
F′(x)=cos x- >cos =0，
则F(x)=sin x- x在x∈[0， ]上是增函数，
所以F(x)≥F(0)=0；
当x∈( ，1)时，
F′(x)=cos x- =0，则F(x)=sin x- x在x∈( ，1)上是减函数，
所以F(x)≥F(1)=sin 1- >sin =0，
故当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sin x≥
记H(x)=sin x-x，则当x∈0，1时，
H′(x)=cos x-1<0.
所以H(x)=sin x-x在x∈[0，1]上是减函数，
则H(x)≤H(0)=0，
即H(x)=sin x-x≤0，sin x≤x.
综上，当x∈[0，1]时， ≤sin x≤x.②由①可知，
当x∈[0，1]时，ax+x2+ x3+2(x+2)cos x-4
=ax+x2+ x3+2(x+2)(1-2sin 2 )-4
=(a+2)x+x2+ x3-4(x+2)sin 2
≤(a+2)x+x2+ x3-4(x+2)( )2=(a+2)x.
所以当a≤-2时，a+2≤0，(a+2)x≤0，不等式ax+x2+ x3
+2(x+2)cos x≤4恒成立．
下面证明，当a>-2时，不等式ax+x2+ x3+2(x+2)cos x≤4不恒成立．由①可知，sin
则当x∈[0，1]时，ax+x2+ x3+2(x+2)cos x-4
=ax+x2+ x3+2(x+2)(1-2sin2 )-4
=(a+2)x+x2+ x3-4(x+2)sin2
≥(a+2)x+x2+ x3-4(x+2)( )2
=(a+2)x-x2- x3≥(a+2)x- x2
=- x[x- (a+2)].所以存在x0∈[0，1](例如，x0取 和 中较小者)满足
ax+x2+ x3+2(x+2)cos x-4>0，即当a>-2时，不等式ax+x2+
x3+2(x+2)cos x≤4不恒成立．
综上，实数a的取值范围为(-∞，-2].【方法技巧】利用导数证明不等式的解题技巧
(1)构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值.
(2)证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，等价转换为证明f(x)-g(x)>0，x∈(a，b).如果(f(x)-g(x))′>0，说明函数f(x)-g(x)在(a，b)上是增函数；如果f(a)-g(a)≥0，由增函数的定义可知，当x∈(a，b)时，f(x)-g(x)>0，即f(x)>g(x).【易错误区】误用函数单调递增(减)的充要条件致误
【典例】已知函数f(x)= 在(-2，+∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________.【解析】因为f(x)= ，所以f′(x)=
由函数f(x)在(-2，+∞)内单调递减知f′(x)≤0在(-2，+∞)内恒成立，
即 ≤0在(-2，+∞)内恒成立，因此a≤
当a= 时，f(x)= ，此时函数f(x)为常数函数，
故a= 不符合题意舍去.所以a的取值范围为a<
故实数a的取值范围为(-∞， ).
答案：(-∞， )【常见误区】【防范措施】
函数单调性与导数正负
　　函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)且f′(x)在区间D任一子区间上不恒为零.本例中利用f′(x)≤0构造关于参数a的不等式，求得a的范围，再验证等号成立时，f(x)是否符合要求.【类题试解】已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，- ]∪[ ，+∞) B.[- ， ]
C.(-∞，- )∪( ，+∞) D.(- ， )
【解析】选B.f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立且不恒为0，Δ=4a2-12≤0?- ≤a≤ .