1.3.2 函数的极值与导数 课件1

课件49张PPT。1.3.2　函数的极值与导数 自主学习 新知突破1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．掌握函数极值的判定及求法．
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．已知y＝f(x)的图象(如图)．
[问题1]　当x＝a时，函数值f(a)有何特点？
[提示1]　在x＝a的附近，f(a)最小， f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．
[问题2]　试分析在x＝a的附近导数的符号．
[提示2]　在x＝a附近的左侧，曲线的切线斜率小于零，即f′(x)<0，而在x＝a附近的右侧，曲线的切线斜率大于零，即f′(x)>0.
[问题3]　f′(a)值是什么？
[提示3]　f′(a)＝0.若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝_______；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．极小值点与极小值 0f′(x)<0f′(x)>0若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它点的函数值都大，f′(b)＝______；而且在点x＝b附近的左侧__________ ，右侧__________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点与极大值 0f′(x)>0f′(x)<01．对函数极值概念的理解
(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．
(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．
(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时
(1)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么，f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么，f(x0)是极小值．函数极值的求法 f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>02．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．
(2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点．
(3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点．1．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：
①－3是函数y＝f(x)的极值点；
②－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增．
则正确命题的序号是(　　)
A．①②　　　　　 B．①④
C．②③ D．③④
解析：　由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，f′(0)>0，x＝－3是函数f(x)的极值点，①④正确．
答案：　B
2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　)
A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0
C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1
解析：　y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
答案：　C3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
解析：　由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案：　x＝2合作探究 课堂互动 求函数的极值 求下列函数的极值：
[思路点拨]　先确定函数定义域，然后正确求导，再解方程f′(x)＝0，列表分析，求出函数的极值． (1)函数的定义域为R.
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22. 1.求可导函数f(x)极值的步骤：
(1)求函数的导数f′(x)；
(2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；
(3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；
(4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
2．注意事项：
(1)不要忽略函数的定义域；
(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝x2e－x.
解析：　(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.已知函数极值求参数 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．
根据x＝±1列表分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点.
由上表可以看出，
当x＝－1时，函数有极大值，且f(－1)＝1；
当x＝1时，函数有极小值，且f(1)＝－1. 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
　 2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值．求这个极小值及a，b，c的值．
解析：　f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
据题意，－1，3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
由根与系数的关系得极值的综合应用 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？[思路点拨]
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根. 12分 1.如何利用导数画函数的大致图象？
求出函数的极值点和极值，结合函数的单调性及x→∞时，f(x)值的变化趋势，可画出函数的大致图象．
2．如何利用导数判断方程根的个数？
用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．　 3．将本例中(2)改为：
①f(x)＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根．
求实数a的取值范围．
②若f(x)＝0恰有一个实数根，如图(2)则有：
a－2>0，解得a>2，或a＋2<0，解得a<－2.
故①－2②a>2，或a<－2时，f(x)＝0只有一个实数根．◎已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．【错因】　根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性，故求错．
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，
因此a＝2，b＝9.高效测评 知能提升 完成练习册作业谢谢观看！