1.3.3 函数的最大（小）值与导数 课件2

课件61张PPT。1.3.3
函数的最大(小)值与导数1.函数y=f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是_____________的曲
线，那么它必有最大值和最小值.
2.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在_______内的极值.
(2)将函数y=f(x)的_______与端点处的_________________比
较，其中_____的一个是最大值，_____的一个是最小值.一条连续不断(a，b)各极值函数值f(a)，f(b)最大最小1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值.(　　)
(2)开区间上的单调连续函数无最值.(　　)
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.(　　)【解析】(1)错误.最大值也可能是端点的值.
(2)正确.在开区间上的单调函数无极值且端点处函数值取不到，故无最值.
(3)错误.函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值也有可能在区间内部某个极值点处取得.
答案：(1)×　(2)√　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)设函数f(x)=e2x+3x(x∈R)，则f(x)__________(填“有”或“无”)最值.
(2)已知函数y=x3-x2-x，该函数在区间[0，3]上的最大值是__________.
(3)已知函数f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2，2])，f(x)的最小值为1，则m=__________.【解析】(1)因为函数f(x)=e2x+3x(x∈R)，所以f′(x)=2e2x+3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，没有最值.
答案：无
(2)y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)，
当0≤x<1时，y′<0，当10，
所以当x=1时，y取得极小值，即最小值，为-1，
又当x=0时，y=0，当x=3时，y=15，
所以该函数在区间[0，3]上的最大值是15.
答案：15(3)f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)，令f′(x)=0，解得x=0或x=2.当x∈[-2，2]时，解f′(x)<0，得-2≤x<0；解f′(x)>0，得0答案：1【要点探究】
知识点 函数的最大(小)值与导数
1.对函数最值的三点说明
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值.
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
(3)函数y=f(x)在[a，b]上连续，是函数y=f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件.2.函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.【知识拓展】开区间(a，b)上连续函数y=f(x)的最值的几种情况
图(1)中的连续函数y=f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值；
图(2)中的连续函数y=f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值；
图(3)中的连续函数y=f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最
小值；
图(4)中的连续函数y=f(x)在开区间(a，b)上既有最大值也有最
小值.【微思考】
(1)函数的极值是否一定是函数的最值？
提示：不一定.端点值也可能是函数的最值.
(2)如果在开区间(a，b)上的连续函数y=f(x)只有一个极值且为极小值，那么函数在开区间(a，b)上有最值吗？
提示：有最小值，无最大值.若x0是函数的极值点，则函数在(a，x0)是减函数，在(x0，b)是增函数，故f(x)在x=x0处取得最小值.【即时练】
关于函数f(x)=(2x-x2)ex，则下列四个结论：
①f(x)>0的解集为{x|0②f(x)的极小值为f(- )，极大值为f( )；
③f(x)没有最小值，也没有最大值；
④f(x)没有最小值，有最大值.
其中正确结论为(　　)
A.①②④　　　B.①②③　　　C.①③　　　D.②④【解析】选A.由f(x)>0可得(2x-x2)ex>0，
因为ex>0，所以2x-x2>0，所以0f′(x)=ex(2-x2)，由f′(x)=0得x=± ，
由f′(x)<0得，x> 或x<- ，
由f′(x)>0得，- 所以f(x)的单调减区间为(-∞，- )，( ，+∞)；
单调增区间为(- ， ).所以f(x)的极大值为f( )，极小
值为f(- )，故②正确.因为x>2和x<0时，f(x)<0恒成立.
所以f(x)无最小值，但有最大值f( )，
所以③不正确，④正确.故选A.【题型示范】
类型一 求函数的最值
【典例1】(1)函数f(x)=lnx-x在区间(0，e]上的最大值为
(　　)
A.1-e B.-1 C.-e D.0
(2)求f(x)=x3-3x2-9x+5在[-4，4]上的最大值和最小值.【解题探究】1.题(1)中f′(x)在(0，e]内的符号是什么？
2.题(2)中求闭区间上函数最大最小值的关键是什么？
【探究提示】1.在(0，1)时，f′(x)>0，在(1，e)时，f′(x)<0.
2.关键是要找到函数f(x)在[-4，4]内的极值与端点值.【自主解答】(1)选B.f′(x)=
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0，1)上递增，在(1，e)上递减，
故当x=1时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(1)=-1.故选B.(2)f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，
令f′(x)=0得x1=-1，x2=3，
所以f(x)在x=-1处有极大值f(-1)=10，
f(x)在x=3处有极小值f(3)=-22，
在区间端点处f(-4)=-71，f(4)=-15，
比较上述结果得，f(x)在[-4，4]上的最大值为f(-1)=10，最小值为f(-4)=-71.【方法技巧】求函数最值的四个步骤
第一步求函数的定义域.
第二步求f′(x)，解方程f′(x)=0.
第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表.
第四步求极值、端点值，确定最值.【变式训练】已知函数f(x)=x2-cos x，x∈[ ]的值域是_______.
【解析】因为f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x)，
所以函数为偶函数.
求导函数，可得f′(x)=2x+sin x，
当x∈[0， ]时，f′(x)>0，函数为单调增函数，
因为f(0)=0-1=-1，f( )=
所以函数f(x)=x2-cos x，x∈[0， ]的值域是[-1， ]，
所以函数f(x)=x2-cos x，x∈[- ， ]的值域是[-1， ].
答案：[-1， ]【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1，0)处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求常数a，b的值.
(2)求函数f(x)在区间[0，m]上的最小值和最大值(m>0).【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax，
f′(1)=3+2a=-3，所以a=-3，
f(1)=a+b+1=0，所以b=2.
(2)f(x)=x3-3x2+2，f′(x)=3x2-6x，
令f′(x)=0得，x1=0，x2=2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0所以f(x)的增区间为(-∞，0)和(2，+∞)，减区间为(0，2)，
f(0)=2，令f(x)=x3-3x2+2=2得x=0或x=3.
所以f(0)=f(3)=2，①当0f(x)max=f(0)=2；
②当2③当m>3时，f(x)min=f(2)=-2，
f(x)max=f(m)=m3-3m2+2.类型二 由函数的最值求参数的值(范围)
【典例2】(1)若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1， ) B.(-1，4)
C.(-1，2] D.(-1，2)
(2)已知函数f(x)=ax2+1(a>0)，g(x)=x3+bx.
①若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值.
②当a=3，b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围.【解题探究】1.题(1)中f(x)的极小值是什么？
2.题(2)中由在交点(1，c)处具有公切线，可以得出什么条件？
【探究提示】1.先求f(x)的导函数f′(x)，然后可知当x=-1时取极小值为-2.
2.可以得(1，c)在f(x)与g(x)上且在此点处两个函数的导数值相等.【自主解答】(1)选C.由题知f′(x)=3-3x2，令f′(x)>0解得
-11，由此得函数在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数.故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间(a2-12，a)上的最小值.所以a2-12<-1综上知a∈(-1，2].故选C.(2)①f′(x)=2ax，g′(x)=3x2+b，
f(1)=a+1=c，
由已知可得 g(1)=1+b=c，解得a=b=3.
2a=3+b，
②f(x)=3x2+1，g(x)=x3-9x，
h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1，
h′(x)=3x2+6x-9.令h′(x)=0，得x1=-3，x2=1，
当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表.当x=-3时，取极大值28；
当x=1时，取极小值-4.而h(2)=3如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤-3.【方法技巧】
1.含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题.
(2)不能求出参数时，常需分类讨论.若参数对导数的正负有影响时，需讨论参数；若极值与函数端点值比较大小不能确定，也需分类讨论以确定最值.
2.已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【变式训练】已知函数
f(x)=(4x2+4ax+a2) ，其中a<0.
(1)当a=-4时，求f(x)的单调递增区间.
(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值.【解析】(1)当a=-4时，f(x)=(4x2-16x+16) ，定义域为
[0，+∞)，f′(x)=(8x-16)
令f′(x)>0得02，所以f(x)的单
调递增区间为 ，[2，+∞).
(2)f′(x)=
令f′(x)=0得x= 或x=
f(x)在定义域上的单调性为 上增， 上减，
上增.
从而需要讨论 与1及4的大小.①当 ≥4或 ≤1，即a≤-40或-2≤a<0时，f(x)在
[1，4]上增，故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8，
解得a=-2± ，均舍去；
②当 ≤1且 ≥4，
即-10≤a≤-8时，f(x)在[1，4]上减，
故f(x)的最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8，
解得a=－10或a=－6(舍去)；③当1< <4，即-8因为 =0，所以不成立；
④当1< <4，即-40 上减，f(x)的最小值为f(1)与f(4)中的一个，
根据上面的①②得均不成立.综上所述a=-10.【补偿训练】函数f(x)=xa-ax(0A.1 B. C.0 D.a
【解题指南】先求出函数f(x)的导数，再求出其极值点，因为在区间[0，+∞)内是惟一的极值点，也即最大值点.【解析】选A.因为f(x)=xa-ax，所以f′(x)=axa-1-a=a(xa-1-1)(0当00；当x>1时，f′(x)<0.所以当x=1时，函数f(x)=xa-ax(0故函数f(x)=xa-ax(0【典例3】(1)函数f(x)=x3-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)
A.20 B.18 C.1 D.0
(2)已知函数f(x)=ekx-2x(k为非零常数).
①当k=1时，求函数f(x)的最小值.
②若f(x)≥1恒成立，求k的值.【解题探究】1.题(1)中|f(x1)-f(x2)|≤t等价于什么？
2.题(2)中①要求最小值先求什么？
【探究提示】1.对于区间[-3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t，等价于对于区间[-3，2]上的任意x，都有f(x)max-f(x)min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论.
2.将k=1代入函数f(x)，应先求出导函数f′(x)=0的根，确定出函数的极小值即最小值.【自主解答】(1)选A.对于区间[-3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t，等价于对于区间[-3，2]上的任意x，都有f(x)max-f(x)min≤t，
因为f(x)=x3-3x-1，所以f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)，
因为x∈[-3，2]，所以函数在[-3，-1]，[1，2]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，
所以f(x)max=f(2)=f(-1)=1，f(x)min=f(-3)=-19.
所以f(x)max-f(x)min=20，所以t≥20，
所以实数t的最小值是20，故选A.(2)①因为f(x)=ex-2x，所以f′(x)=ex-2，
令f′(x)=0，得x=ln2，所以当xln2时，f′(x)>0，可得f(x)在(ln2，+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(ln2)=2-2ln2.
②因为f′(x)=kekx-2，
(ⅰ)当k<0时，f′(x)恒小于零，则f(x)在R上单调递减；
因为当x>0时，f(x)所以不符合f(x)≥1恒成立.(ⅱ)当k>0时，令f′(x)=0，得
当x< 时，f′(x)<0，可知f(x)在(-∞， )上单调递减，
当x> 时，f′(x)>0，可知f(x)在( ，+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f( )=
因为f(x)≥1恒成立，即f(x)min≥1恒成立，
所以 ≥1，构造函数g(x)=x-xln x(x>0)，则有g( )≥1，
因为g′(x)=1-ln x-1=-ln x，
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(1)=1，当且仅当x=1时取得最大值，
结合g( )≥1，所以 =1，所以k=2.【延伸探究】若将题(1)中的“任意x1，x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t”改为“任意x都有f(x)≤t”结果如何？
【解析】选C.对于区间[-3，2]上的任意x都有f(x)≤t，等价于对于区间[-3，2]上的任意x，都有f(x)max≤t，
因为f(x)=x3-3x-1，所以f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)，
因为x∈[-3，2]，所以函数在[-3，-1]，[1，2]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，
所以f(x)max=f(2)=f(-1)=1，所以t≥1.【方法技巧】分离参数求解不等式恒成立问题【变式训练】已知函数f(x)=ax+lnx，x∈[1，e].
(1)若a=1，求f(x)的最大值.
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.
【解析】(1)若a=1，则f(x)=x+lnx，f′(x)=
因为x∈[1，e]，所以f′(x)>0，
所以f(x)在[1，e]上为增函数，
所以f(x)max=f(e)=e+1.(2)要使x∈[1，e]，f(x)≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，
f(x)max≤0，
显然当a≥0时，f(x)=ax+ln x在[1，e]上单增，
所以f(x)max=f(e)=ae+1>0，不合题意；
当a<0时，f′(x)=
令f′(x)=0，x=
当x＜ 时，f′(x)＞0，当x＞ 时，f′(x)＜0，①当 ≤1，即a≤-1时，f(x)在[1，e]上为减函数，
所以f(x)max=f(1)=a<0，
所以a≤-1；
②当 ≥e，即 ≤a＜0时，f(x)在[1，e]上为增函数，
所以f(x)max=f(e)=ae+1≤0，a≤ ，所以a= ；
③当1< 所以f(x)max=f( )=-1+ln( ).因为1< 所以f( )<0成立；
由①②③可得a≤ .【补偿训练】设f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值.
(2)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)< 对任意x>0成立.
【解题指南】(1)先求函数f(x)的导数，得到函数g(x)的解析式，再利用导数求函数g(x)的单调区间和最小值.
(2)要使g(a)-g(x)< 恒成立，等价于g(a)-g(x)min< 成立.【解析】(1)由题设知f′(x)= ，g(x)=
所以g′(x)= .令g′(x)=0得x=1.
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，故(0，1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，+∞)时，g′(x)＞0，故(1，+∞)是g(x)的单调递增区间.因此，x=1是g(x)在(0，+∞)上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)=1.
(2)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)-g(x)＜ ，对任意x＞0成立?g(a)-1＜ ，即ln a＜1，从而得0＜a＜e.【误区警示】解决题(1)时，一定要注意函数自变量的取值范围.【拓展类型】与最值有关的不等式的求解或证明问题
【备选典例】(1)函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为(　　)
A.(-1，1) B.(-1，+∞)
C.(-∞，-1) D.(-∞，+∞)
(2)已知m∈R，函数f(x)=(x2+mx+m)ex，
①若函数没有零点，求实数m的取值范围.
②当m=0时，求证f(x)≥x2+x3.【解析】(1)选B.构造函数g(x)=f(x)-(2x+4)，则g(-1)=
f(-1)-(-2+4)=2-2=0，又因为f′(x)>2，所以g′(x)=f′(x)-2>0，可知g(x)在R上是增函数，所以f(x)>2x+4可化为g(x)>0，即g(x)>g(-1)，利用单调性可知，x>-1.选B.
(2)①由已知条件f(x)=0无解，即x2+mx+m=0无实根，
则Δ=m2-4m<0，解得0设g(x)=ex-x-1，所以g′(x)=ex-1，g(x)，g′(x)随x变化情况如下：
由此可知对于x∈R，g(x)≥g(0)，
即ex-x-1≥0，因此x2(ex-x-1)≥0，整理得，
x2ex≥x3+x2，即f(x)≥x3+x2.【方法技巧】用导数证明不等式的方法
(1)利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对?x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可设h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可.
(2)利用导数解决不等式，应特别注意区间端点是否取得到.
(3)学会观察不等式与函数的内在联系，构造函数再利用导数证明不等式，借助导数工具来解决不等式的证明问题，是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.【易错误区】利用导数求函数的最值的误区
【典例】已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R)，当f′(-1)=0时，函数y=f(x)在[ ]上的最大值为__________，最小值为__________.【解析】f(x)=x3+ax2+x+a，f′(x)=3x2+2ax+1，f′(-1)=
3-2a+1=0，所以a=2．f′(x)=3x2+4x+1=3(x+ )(x+1)，
由f′(x)=3(x+1)(x+ )＞0，得x＜-1或x＞- ；
由f′(x)=3(x+1)(x+ )＜0，得-1＜x＜- ．
所以函数的递增区间是[- ，-1]，[- ，1]；
函数的递减区间是[-1，- ]．
f(- )= ，f(-1)=2，f(- )= ，f(1)=6，
所以函数f(x)在[ ，1]上的最大值为6，最小值为
答案：6 【常见误区】【防范措施】
求函数最值时的注意点
　　求函数最值时，若函数的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小；如本例中需比较极值与端点值的大小才能确定出最值.若函数的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点.【类题试解】设f(x)=x3-3x2+5，x∈[1，3]，则f(x)的最大值为__________，最小值为__________.
【解析】f′(x)=3x2-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2.列表如下：(-∞，0)和(2，+∞)是函数f(x)的单调递增区间；(0，2)是函数f(x)的单调递减区间.
由此可知，当x∈[1，3]时，f(x)在x=2处取得极小值，无极大值.又f(1)=3，f(2)=1，f(3)=5，所以f(x)在区间[1，3]上的最大值是5，最小值是1.
答案：5　1