1.4 生活中的优化问题举例 课件2

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生活中的优化问题举例【题型示范】
类型一 几何中的最值问题
【典例1】(1)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积是________m3.(2)如图，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y=- x2
+2，x∈[-2，2]的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小
值.【解题探究】1.题(1)中应设哪个未知量？如何表示其他的量？
2.题(2)中如何巧设切点坐标？在曲线上一点处的切线方程公式是什么？
【探究提示】1.根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可.
2.可设点P的坐标为(t，- t2+2)(02x m，高是 则该长方体的体积V(x)=x·2x·( -3x)=-6x3+9x2，由V′(x)=0，得到x=1，且当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜ 时，V′(x)＜0，即体积函数V(x)在x=1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x)在定义域上的最大值．
所以该长方体体积最大值是3 m3．
答案：3(2)设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为(t，- t2+2)(0由题意得，点Q的坐标为(0，2)，直线BC的方程为y=2．因为
y=- x2+2，所以y′=-x，所以y′|x=t=-t，
所以直线AB的方程为y-(- t2+2)=-t(x-t)，
即：y=-tx+ t2+2，令y=0得，
所以A( ，0).
令y=2得，x= t，所以B( t，2)，
所以令S′=0得t= .故当t= 时，S有最小值为
所以梯形ABCD的面积的最小值为【方法技巧】
1．解决面积、体积最值问题的思路
解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2.利用导数解决优化问题的基本思路3.解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)=0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.【变式训练】某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面？
【解题指南】设所印文字区域的左右长为x cm，确定纸张的长与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解析】设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为
cm，所以纸张的左右长为(x+2)cm，上下长为( +
3)cm，所以纸张的面积S=(x+2)( +3)=3x+ +156．所以S′= ，令S′=0解得x=10．
当x＞10时，S单调递增；当0＜x＜10时，S单调递减．
所以当x=10时，Smin=216(cm2)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm．
故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约．【补偿训练】已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积的最大值是__________.
【解题指南】说明点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心，三棱锥S-ABC为正三棱锥，记SO=h(hS在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，
所以O为△ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥．记SO=h(h
＜a)，则AO= ，于是有AB= ，记三棱锥S-ABC
的体积为f(h)，则f(h)= (a2-h2)h，f′(h)= (a2-3h2)，
所以f(h)max=
答案：类型二 用料(费用)最省问题
【典例2】(1)圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为________.(2)某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)=800(1+ ln x)来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【解题探究】1.题(1)中圆柱形金属饮料罐容积一定，底面半径和高有什么关系？
2.题(2)中解决用料(费用)最省问题的关键是什么？
【探究提示】1.V=πR2h，即
2.解决用料(费用)最省问题的关键是选取合适的量作为自变量，把要求解的问题表示成自变量的函数，再利用导数求出最小值.【自主解答】(1)设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，
则表面积S=2πRh+2πR2.由V=πR2h，
得h= ，则S(R)=
= +2πR2，令S′(R)=
解得R=
从而
即h=2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值，当饮料
罐的高与底面直径相等，即h∶R=2∶1时所用材料最省.
答案：2∶1(2)设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为
元，
因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)=
800(1+ ln x)来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)=
f(x)+ =800+160ln x+ (x＞0)，所以g′(x)=
(x＞0)，
令g′(x)=0，则x=8，当0＜x＜8时，g′(x)＜0，当x＞8时，
g′(x)＞0，所以x=8时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．【延伸探究】若把题(1)中的条件改为圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大，它的高与底面半径的比为________.
【解题指南】先写出饮料罐的高与底面半径的关系，再把饮料罐的体积表示成底面半径的函数，利用导数求出饮料罐容积最大时满足的条件，再求高与底面半径的比.【解析】因为S=2πRh+2πR2，所以
所以V(R)=
= (S-2πR2)R= SR-πR3，
V′(R)= S-3πR2=0，得S=6πR2，
当S=6πR2时，容积最大，
此时6πR2=2πRh+2πR2．即h∶R=2∶1.
答案：2∶1【方法技巧】利用导数解决生活中优化问题的四个步骤【变式训练】统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为 ，x∈(0，120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以多少千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少.
【解题指南】根据题意求出总耗油量h(x)与速度x的关系式，再利用导函数求出h(x)的极小值判断出就是最小值即可．【解析】当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=
h′(x)=
令h′(x)=0，得x=80．
当x∈(0，80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；
当x∈(80，120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．所以当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11．25．
因为h(x)在(0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升．【补偿训练】如图，
现要在边长为100 m的正方形区域ABCD内建
一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为
圆心，在四个角分别建半径为x m(x不小于
9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围.(运算中 取1.4)
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为 元
/m2，其余区域的造价为 元/m2，当x取何值时，可使“环
岛”的整体造价最低？ x≥9，
【解析】(1)由题意得， 100-2x≥60，
100 -2x-2× x2≥2×10，
x≥9，
解得 x≤20， 即9≤x≤15.
-20≤x≤15，(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
令f(x)=
则f′(x)=
由f′(x)=0，解得x=0或x=10或x=15，
列表如下：所以当x=10时，y取最小值.
答：当x=10时，可使“环岛”的整体造价最低.类型三 利润最大(成本最低)问题
【典例3】(1)甲乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为 元．为使全程运输成本最小，汽车应以_______速度行驶.(2)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p=24 200- x2，且生产x吨的成本为R=50 000+200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解题探究】1.题(1)中汽车每小时的运输成本由哪些成本组成？如何利用导数求最值？
2.题(2)中利润、收入、成本三者之间有何关系？求利润最大的解题思路是什么？
【探究提示】1.根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为 元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．
2.利润、收入、成本三者之间的关系为：利润=收入-成本．首先列出利润关于月生产量的关系式，再利用导数求函数的最值．【自主解答】(1)设全程运输成本为y元，由题意，得
令y′=0，得v=80．当v＞80时，y′＞0；
当0＜v＜80时，y′＜0．所以v=80时，ymin=720．
答案：80 km/h(2)每月生产x吨时的利润为
f(x)=(24 200- x2)x-(50 000+200x)
=- x3+24 000x-50 000(x≥0)，
由f′(x)=- x2+24 000=0，解得：x=200或x=-200(舍去)．
因f(x)在[0，+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)=- ×2003+24 000×200-
50 000=3 150 000(元)，
故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．【方法技巧】
1.经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.
2.关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润=收入-成本.
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.【变式训练】在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱.
(1)试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？
(2)若鱼的市场价为m万元/吨，养殖的总成本为(5lnx+1)万元.
(i)当m=0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y最大？
(ii)当m≥0.25时，求使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合.【解析】(1)设p=ax+b，由已知得 所以
所以p=-2x+24，所以Q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)2+72(x∈N*，
x≤10)，所以当x=6时，f(x)最大，即放置6个网箱时，可使总
产量达到最大．
(2)总收益为y=f(x)=(-2x2+24x)m-(5ln x+1)(x∈N*，x≤10)，
(i)当m=0．25时，f(x)=(-2x2+24x)× -(5ln x+1)=- x2+6x
-5ln x-1，所以f′(x)=当1＜x＜5时，f′(x)＞0，当5＜x＜10时，f′(x)＜0，所以
x=5时，函数取得极大值，也是最大值．所以应放置5个网箱才
能使总收益y最大；
(ii)当m≥0．25时，f(x)=(-2x2+24x)m-(5ln x+1)，
所以f′(x)=
令f′(x)=0，即-4mx2+24mx-5=0，因为m≥0.25，所以
Δ=16m(36m-5)＞0，方程-4mx2+24mx-5=0的两根分别为x1=3-
，x2=3+ ，因为m≥0.25，所以x1≤1，5≤x2＜
6，所以当x∈(1，x2)时，f′(x)＞0，当x2＜x＜10时，f′(x)＜0，所以x=x2时，函数取得极大值，也是最大值．
所以使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为{5，6}．【补偿训练】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2，其中3(1)求a的值.
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解题指南】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点(5，11)，将其代入可求得a的值.
(2)利润为f(x)=(每千克产品的售价-每千克产品的成本)×销售量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值.【解析】(1)因为x=5时，y=11，所以 +10=11，所以a=2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y= +10(x-6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2，
3从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点.
所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【规范解答】导数在解决实际问题中的应用
【典例】(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式.
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).【点题】警误区，促提升
失分点1：若在①处不能正确求出导数为0的点，即不舍x=12则会求错，本例最多得2分.
失分点2：若审题不清忽视对②处的讨论，仅求出一组，则本例最多得5分.
失分点3：若虽然进行了讨论，但无法确定函数取得最大值的点，即未能求出③处的值，则本例最多得7分.【悟题】提措施，导方向
1.应用分类讨论思想
在解含有参数的问题时，一定要注意分类讨论.如本例中销售价x由于管理费a的变化而变化，最终会影响利润的最大值.
2.注意限制条件的挖掘
对题目中的条件要认真分析，找出一些限制条件，如本例中x的取值，对于不符合条件的x的取值，要舍去.3.注意解题的规范性
解决实际应用题时，要注意解答过程的规范性，对于分类讨论得到的结果，如本例最大利润的结果表达式，要写成分段的形式，最后一定要进行总结.【类题试解】某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个.
(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式.
(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值.【解析】(1)设日销量为s，则s= ，因为x=40时，s=10，所以
10= ，所以k=10e40，所以s= ．所以y= (x-30-
m)(35≤x≤41).
(2)y′= (31+m-x)，令y′=0，可得x=31+m，所以当
2≤m≤3时，33≤31+m≤34，所以当35≤x≤41时，y′＜0，函
数为减函数．所以当x=35时，y取最大值，最大值为10(5-
m)e5．